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重要 例題 68 定義域によって式が異なる関数 (2)
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
き,次の関数のグラフをかけ。
(1)
y=f(x)
指針
0
I
(2) y=f(f(x))
定義域によって式が変わる関数では, 変わる境目のx,yの値に着目。
(2) f(f(x)) はf(x)
f(x) を代入した式で,
0≦f(x)<2のとき 2f(x), 2≦f(x)≦4のとき 8-2(x)
(1) のグラフにおいて, 0≦f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x) ≦4となるxの範囲を見
極めて場合分けをする。
解答
(1) グラフは 図 (1)。
(2)
f(f(x))=
sese
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x
1≦x<2のとき f(f(x))=8-2f(x)=8-2.2x=8-4x
2≦x≦3のとき
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8
3<x≦4のとき f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)=16-4x
よって, グラフは図 (2)。
(1)
y₁
2f(x) (0≦f(x)<2)
(8-2f(x) (2≤ f(x) ≤4)
I
1 2 3 4
f(x)={
34
M
0 1 2 3 4
*********
00000
2x
(0≦x<2)
8-2x (2≦x≦4)
変域ごとにグラフをかく。
< (1) のグラフから, f(x) の
変域は
0≦x<1のとき
0≦f(x)<2
1≦x≦3のとき
2≦f(x)≦4
3<x≦4のとき
0≤ f(x) <2
また, 1≦x≦3のとき
f(x) の式は
1≦x<2なら f(x)=2x
2≦x≦3ならf(x)=8-2.x
のように、2を境にして式
が異なるため (2) は左の解
答のような合計4通りの場
合分けが必要になってくる。
