次の定積分の値を求めよ.
(1)S redr
(2) f(x²-2x)e* dx
dx-
(3) f(x-1)²edx
精講
(1)は92(3) とよく似ていますが, e-x2 と et の違いがあります. そ
のため置換積分はメンドウになります.
実は(1),(2),(3)はいずれも (整式) eax型をしているので,すべて部
分積分のI型,すなわち, じゃまもの消去型になります.
また(3)では,定積分の負担を軽くするための新しい技術も勉強しましょう。
解答
2x
(1) fre² dx=f²x(e²) dx=|
dr=[²]²² d
==
Fe4.
2.
2
1
4
e+
(2) f(x²-2x)e³ dr = f(x²-2x)(e*)' dx
S'(2x)dx=f(x)(edr
1
ie=
e2x
3e-e² 1
食
=(z°-2x)el]-f(2x-2)e"dr=-e2f(x-1)(es) dr
==
---[(2-1)+2fe*dz=−−2+28-0-4
ex
次のような公式があります.
f(x)e* dx={f(x)-f'(x)+ ƒ"(x)—···}eª+C
この公式を使うと,次のような解答になります.
(x²-2x)e* dr=[((x²-2x)-(2x-2)+2)e=]
=(x-2)=e-4
10
