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基本例題188 関数のグラフの概形 (2) ･･･ 対称性に注目 ①①0
関数 y=4cosx+cos 2x (-2≦x≦2π) のグラフの概形をかけ。
基本 187
指針 関数のグラフをかく問題では, 前ページの基本例題187同様 定義域, 増減と極値､凹心
と変曲点, 座標軸との共有点, 漸近線 などを調べる必要があるが,特に, 対称性に注
目すると、増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。
f(-x)= f(x) が成り立つ (偶関数) グラフは
f(-x)=f(x) が成り立つ (奇関数)
解答
① y=f(x) とすると, f(-x)=f(x) であるから, グラフはy軸
に関して対称である。
この問題の関数は偶関数であり,y'=0, y" =0の解の数がやや多くなるから、
の範囲で増減凹凸を副べて表にまとめ, 0x2におけるグラフをy軸に関して
に折り返したものを利用する。
=–4sinx(cosx+1)
=–4(cosx+1)(2cosx−1)
0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 または
y'
3"
y'=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2・2sinxcosx 2倍角の公式。
y=-4cosx-4cos2x=-4{cosx+(2cos2x-1)}
20
:
cosx+1=0から
x=π
y" =0 となるxの値は, cosx+1=0 または2cosx-1=0から(*)の式で, CoSx+120
5
に注意。 sinx, 2cosx-1
の符号に注目。
(E
よって, 0≦x≦2におけるyの増減, 凹凸は,次の表のようになる。 (*)
-
x=
お
π
3
π
"
3
0
3
2
18
+1
π,
↑
π
0
20
3
-3
π
***
++
軸対称
グラフは原点対称
|53+0 32
π
3″
:
y 5
ゆえに, グラフの対称性により, 求めるグラフは右図。
+0
[参考] 上の例題の関数について, y=f(x) とすると
よって, f(x) は2πを周期とする周期関数である。
C 5
◄cos (-
(数学ⅡI)
2π
7 (OR) (200
(2)y=
重要 189,190
y=-4sinx-2sin2xを
微分。
-
-2π
5
ミル
= COS
π
3
YA
15
3
f(x+2)=f(x)
この周期性に注目し,増減や凹凸を調べる区間を 0≦x≦2に絞っていく考え方でもよい。
←数学Ⅱ 参照。
70
-3π
sink Xの
練習
次の関数のグラフの概形をかけ。 ただし, (2) ではグラフの凹凸は調べなくてよい。
188 (1) y=er-¹ (-1<x<1)
ex
sin 3x-2 sin 2x+sinx (-75x5)
[(1) 横浜国大〕 Op.325 EX161
重要
方程式
指針陰
中
1²2
解答
方程式で
は成り立
よって,
8-x²MC
0<x<2.
y' = √
y=2
y'=0と
また、C
0≤x≤
なる。
よって
[
参考
した
練習
189
