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重要 例題110/2次不等式の解法 (4)
次の不等式を解け。 ただし, aは定数とする。
(1) x2+(2-a)x−2a≦0
(2) ax² ≤axise 基本106)
指針
文字係数になっても, 2次不等式の解法の要領は同じ。 まず, 左辺=0 の2次方程式を解く。
それには
の2通りあるが,ここで
① 因数分解の利用 [2] 解の公式利用
は左辺を因数分解してみるとうまくいく。
α<βのとき (x-a)(x-β)>0x<a, B<x
(x-a)(x-B) <0⇒a<x<B
α, βがαの式になるときは,αとβの大小関係で場合分けをして上の公式を使う。
(2) x²の係数に注意が必要。 > 0, a = 0, a < 0 で場合分け。
CHART (x-a)(x-B) ≧0の解α, βの大小関係に注意
解答
(1) x²+(2-a)x-2a≦0から (x+2)(x-a) ≤0
[1] a<-2のとき, ① の解は
[2] α=-2のとき, ①は (x+2)² ≤0
よって, 解は x=-2
[3] -2 <a のとき, ① の解は-2≦x≦a
以上から
a<-2のとき a≦x≦-2
a=-2のとき x=-2
-2 <αのとき -2≦x≦a
ax(x-1) ≤0
(2) ax² ≦ax から
[1] a>0のとき, ① から
よって, 解は 0≤x≤1
[2] α=0のとき, ① は
これはxがどんな値でも成り立つ。
よって、 解は
すべての実数
[3] a<0 のとき, ① から x(x-1) 20
よって, 解は x≦0, 1≦x
以上から
x(x-1) ≤0
0.x(x-1)≦0
a>0のとき 0≦x≦1;
a=0のとき すべての実数;
a<0のときx≦0, 1≦x
①
00000
[1]
teli
[2]
[3]
Vital
-2
① の両辺を正の数α で割る。
0≦0 となる。 は 「<または=｣
の意味なので、 <と = のどちらか
一方が成り立てば正しい。
< ① の両辺を負の数αで割る。
負の数で割るから, 不等号の向き
が変わる。
注意 (2) について,ax Sax の両辺を ax で割って, x≦1としたら誤り。なぜなら, ax=0のと
きは両辺を割ることができないし, ax<0のときは不等号の向きが変わるからである。
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