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●2等比数列・
(ア) a, b, cは相異なる実数で, abc = -27 を満たしている.さらに,a,b,cはこの順で等比数
列であり, a,b,c の順序を適当に変えると等差数列になる.a,b,c を求めよ.
(宮城教大)
(イ) 初項と第2項の和が135で,第4項と第5項の和が40である等比数列{a}の公比は
である.ただし各項は実数とする.また,初項が84で,初項から第5項までの和が290である等
]である.これら2つの数列{a}, {bm}に関して,an>by が成り立つ
差数列{6} の公差は
最小のnの値は
である.
C
(東京工科大・メディア)
a, b, c がこの順に等差数列
bn
3項が等差数列, 等比数列になる条件
であるときa+c= 26, また, x, y, zがこの順に等比数列であるとき,
πz=y2 が成り立つ (b-a=c-b;
等差数列・等比数列の大小
π:y=y:zより分かる).
{a} が等差数列, {bm} が等比数列 (公
比は正)のとき, (n, an) は直線上, (n, bm) は指数関数のグラフ (下に
凸) 上に乗る. 等差数列, 等比数列の各項の大小はグラフを描くと様子
がはっきり分かる. (右図のように, 2交点の間では, 等差>等比)
解答
(ア) a, b, cはこの順で等比数列だから, ac=62
これとabc=-27より, 63-27
∴.b=-3
cをαで表して, (a, b, c) = (a, -3, 9/α)
..ac=9
以下, 等差数列の条件を考える. 中央項がどれになるかで場合分けする.
9
a
9
2°a+==2(-3)
1° -3+-=2a
9
3° α+(-3)=2•
a
1° のとき,2a2+3a-9=0
. (a+3) (2a-3)=0
a = bよりα キー3だから, a=3/2 ..c=6
2°のとき,a2+6a+9= 0 .. α=-3 これは α = 6に反する.
3°のとき, α2-3a-18=0
∴ (α+3)(a-6)=0
以上から, (a,b,c) = (3/2, 3, 6), (6, -3, 3/2)
(イ) {a} の初項をα 公比をとおくと, an=arn-1
a1+az=a+ar=α(1+r)=135
astas=ar3+ara=ar3(1+r)=40]
a=6
12 \3
27
82
2|3
123
an
中央項がα, b, c で場合分け.
1° は αが中央項で, b+c=2α と
なる. 2° はんが中央項, 3° はc
が中央のとき.
α=6のとき,c=9/6=3/2
[(イ) 後半の方針] > b は解
...
ける不等式ではない。最小の
を求めたいので, n=1,2, … から
順に調べていくのが早い.なお,
座標平面上に (n, an), (n, bm)
をプロットすると下図のように
なる.
より3=
ar3(1+r) 40
a (1+r)
135
よって,r=" a=.
2
3'
135 135
-=81
1+r 5/3
b1+65
84+ (84+4d)
{6} の公差をd とおく. b1 ~ 65 の和=-
・5=
･･5 が 290
Y
2
2
なので, (84+2d) ・5=290
2\n1
.. 42+d=29
..
d=-13
-y=97-13x
y=810
a1
an=-81-1
·(323), b₂=84–13(n−1)
n
1 2 3 4
5
6 7
32 64
an
81 54 36 24 16
3 9
と表よりan>bmとなる最小のnは7.
bi b² b3 bbs be at
az
03
Sasas
b 84 71 58 45 32 19 6
01234567
46 67
48
2
