8 数列の極限/漸化式-
ーズく0<rとするとき,次の条件によって定められる数列(a,}がある。
1+am
0
an+1=
a=CoS-
2
5
0
が成り立つことを示せ。
2"
(1) a=Cos
0
0
Xcos
2
0
×cos
×cos
0
×…………×cos
23
0
-=sin0 (n=1, 2, 3, ……)
2"
(2) 2"×sin
2*
が成り立つことを証明せよ。
(3) b=a×ag×asX…Xan (n=1, 2, 3, …) とおく. 0キ0のとき, limb,を 0を用いて
表せ、
(新潟大·理,医,歯)
半角の公式を連想する
本間は三角関数がらみである。そこで与えられた漸化式を三角関数の公式
1+cos0
と関連させて眺めよう.すると, cos
の公式を連想するのは難しくはないだろう。
2
0-ロ
■解答
(1)数学的帰納法で示す。 n=1のとき成り立つ。
n=kで成り立つとすると,
答
1+の)-
0
1+cos
24
0
a+1=
2
cos2
2*+1
cos?
2
2
0
;. as+1=COS 2k+1
0
全x =|X|に注意して「を外
す。
0
-<-であるから,cos
2*+1
24+1
4
よって, n=k+1でも成り立つから,数学的帰納法により証明された。
(2)与式の左辺を C,とおくと,
St立さもさo 【+チリニ
○(2)も数学的帰納法で示すこと
ができる。 ふた計(8)
0
0
×cos
0
×…………×cos
0
X cos
Cy+1=2"×|2sin
-coS
2ガ+1
2ガ+1
2?
2*
+1
0
= Cm
×………Xcos
2
10
全2sin
0
=sin
0
0
-× cos
2*
0
Xcos
22
2カ+1 COS
24+1
=2"×sin
2"
2
(2sinacosa=sin2α)
0
0
sin
2
Cyは一定で, cn=C=2cos
-=sin@
2
0
(3) C=2"sin-
a1@2"………*."
2"
0
sin0=2"sin
bn
2
0
10 (n→8)
2*
IC1+x
0-
0/2
sin0
sin 0
mil
lim b,= lim
ガー0 sin(0/2")
0
0
間
2
