数列{a}において, 初項から第n項までの和 Sn と anの間に,
基本例題108 S を含む漸化式
OOO00
S=-2an-2n+5 の関係があるとき
(1) 初項 a」を求めよ。
(3) 数列 (a}の一般項を求めよ。
(2) an, an+1 の2項間の関係式を求めよ。
【類皇琴館大)
▲基本94,104
R
CHART
OLUTION
和 S,を含む漸化式
Sn+1-S=an+1, Si=a. を利用
(2) S=-2an-2n+5 でnの代わりにn+1とおいて, Sn+1を求め。
Sn+1- Sn=an+1 を利用する。この等式は, n>1 で成り立つ。
解答
(1) Si=a であるから, Sn=-2an-2n+5 ……① において
n=1 とすると
ai=-2ai-2·1+5
よって
a=1
Sn+1=-2an+1-2(n+1)+5
の
ののnにn+1を代i。
(2) のから
2-0 から
Sn+1- Sn=-2an+1+2an-2
合n21 で成り立つ。
Sn+1- Sn=an+1 であるから
an+1=-2an+1+2an-2
2
-an
3
2
ゆえに
an+1
ニ
*a=2aー を解くと
2
2
- を変形して
an+1+2==(an+2)
(3) an+1=
an
3
3
Q=-2
また
ai+2=1+2=3
よって,数列(an+2} は, 初項 3, 公比子の等比数列である。
2n-1
ゆえに
an+2=3|
3
n-1
よって
an=3
3
-2
ン
