245.連星の運動闘 図のように、質量 m, の天体Aと,
質量 m,の天体Bが,同一平面内で2つの天体の重
心Oのまわりに等速円運動をする場合を考える。天
体A,B以外の天体からの力は無視でき, A, Bの
大きさは,軌道半径に比べて十分に小さく, 天体の
大きさの影響も無視できるとする。天体A, Bの軌
道半径をれ,2, 万有引力定数をGとする。次の文
)に入る適切な式を答えよ。
A
0
B
の(
重心0のまわりをまわる2つの天体の円運動の周
期Tは等しい。このTを用いると, 2つの天体の角速度ωは、 w=( ア )である。天
体AB間の万有引力の大きさFは, F=( イ )であり,天体A, Bはこの万有引力を向
心力として円運動をしている。ωを用いると, 天体Aに対して, F=m,X( ゥ)が、
天体Bに対して, F=m;X( エェ )が成立する。 AB間の距離をntrz=rとして, こ
れらの式を用いて, 2つの天体の質量の和 m,+maを, 角速度のと天体関の距離r, お
よびGを用いて表すと, m,+mz=( オ )が成り立つ。また, (ア)を利用して, 周期T
と天体間の距離r, およびGを用いて表すと, m:+ma=( カ )である。(オ)を用い
て,天体Aの円運動の速さ、をな,ど, G, mi, m, を用いて表すと, ひュ=( キ)とな
る。天体Bの円運動の速さについても, 同様の式を導くことができる。 したがって, 天
体の軌道の観測から,周期Tと天体間の距離ヶがわかると, (ア)から角速度のが, (カ)
から天体AとBの質量の和が計算できる。 さらに, 天体A, あるいは天体Bの速さがわ
かれば,天体A, およびBの軌道半径と質量も求めることができる。
(近畿大 改)
