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第2章 2次関数
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例題 77
ある区間でつねに成り立つ不等式
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次の条件が成り立つような定数αの値の範囲を求めよ。
(1) 2≦x で、つねに x-4ax+4a+8< 0 が成り立つ.
(2) 2≦x≦6 で、つねに x4ax+4a+8 0 が成り立つ。
[考え方 グラフで考える。f(x)=x4ax+4a+8 のグラフは下に凸
解答
(1) 区間内での最大値が急であればよい。
(2) 区間内での最小値が正であればよい
f(x)=x-4ax+4a+8 とおくと,
f(x)=(x-2a)-40°+4a+8
(1) y=f(x) のグラフは下に凸なので
2≦x≦6 での最大値はf(2) またはf (6) である.
2x6 でつねに f(x) <0 となる
条件は、
Jf(2)=-4a+12<0
lf(6)=-20a+44< 0
12
67
AX
どちらも負になれ
よいから、場合
はしない。
これをともに満たすのは,
a>3
(2)y=f(x) のグラフは下に凸で,軸は直線 x=2a
(i) 2a2 つまり a<1 のとき
2≦x≦6 での最小値はf(2)
よって, 求める条件は,
f(2)=-4a+12>0
したがって
a<3
これと a <1 より
a<1
オ
下に凸なので、最
となるのは軸, 左
x=2, 右端 x=60
いずれか
2a
26x
軸の位置で3通りに
場合分け
必ず, 場合分けした
22a6 つまり 1≦a≦3のとき
2≦x≦6 での最小値はf(2a)
よって, 求める条件は,
f(2a)=-4a2+4a +8 > 0
したがって,
範囲と合わせる.
a²-a-2<0
-1<a<2
21
12a6x
1≦a<2
(a+1)(a-2)<0
-1<a<2
これと1≦a≦3 より
(Ⅲ) 62a つまり α>3のとき
2≦x≦6 での最小値はf (6)
よって、 求める条件は,
f(6)=-20a+44> 0
したがって, a 1/
これとα >3 より,解なし
よって, (i)(ii)より a<2
(i)
(ii)
x
1 2 a
場合分けしたものは
最後はドッキング
練習 f(x)=x-4ax+5α-1 とおく. 0≦x≦2 において,y=f(x) のグラフが
***
77 x軸よりつねに上側にあるような定数αの値の範囲を求めよ.
op.1730
例
