|3|[2001 愛知工業大]
*の方程式 sinx +2cosx=k {0Sxい)が異なる2個の解をもつとき, kの値の範囲
を求めよ。
f(x) =sin x +2cosx とおくと
7O)=2, 八)=1
5
2
f(x) =V5(- sinx+CoSx
2
V5
1
5
(0
=V5 sin(x+a)
一5
2
ここで, sin α=-
V5
1
(0Sas2x)とする。
COsα=
V5
-5
sin a>0, cosa>0から 0<α<→
/5
2
>ー20
したがって, *=l々でf(x)は最大値V5 をとる。
ゆえに 0<
1
-α
以上から, y=f(x) のグラフの概形は右図のようになる。
よって, 直線 y=kと異なる2個の共有点をもつような
たの値の範囲は 2<k<\5
0 90°-α 90°
4[2003 中央大]
関数 y=3cos0+4sin0
について
(1) yのとりうる値の範囲を求めよ
(2) yが最大値をとるときの sin 0, cos0 の値を求めよ。
(3) yが最大値をとるときのz%=D3sin 20 +4cos20 の値を求めよ。
解答
3
(1) V3?+4° =5であるから y=5=sin 0 +cose=5sin(0+a)
:0s0
5
ただし,sin α=-
3
COSα =
0<a<2x で考えると 0<a<っ
ゆえに0<as0+a<+a<x
よって, 0+a=のとき yは最大値5をとる。
また,0=0のとき y=3, 0=;のとき y=4
したがって 3ハyS5
(2) yが最大のとき 0+a= すなわち 0=
α
2
sin0 =sin(-a)
4
=Cos a
5
このとき
2
Cos0-co(-)=sinaー
3
ーa=sin«=
5
(3) 2=3sin 20+4cos20 =3·2sin 0 cos 0 +4(cos'0-sin'0)
43
=6-
72
28
44
25
25
