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解答
基本 75 第n次導関数を求める (1)
を自然数とする。
(1) y=sin 2x のとき, y''") =2"sin (2x+
nπ
であることを証明せよ。
重要
2
(2) y=x" の第n 次導関数を求めよ。
/p.129 基本事項 1
重要 76, p.135 参考事
関数
計 yla は、yの第n次導関数のことである。そして、自然数nについての問題です。
から自然数nの問題 数学的帰納法で証明 の方針で進める。
(2)では,n=1,2,3の場合を調べてy(n) を 推測し、数学的帰納法で証明する。
注意 数学的帰納法による証明の要領 (数学 B)
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
[2] n=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことを示す。
(1)y(n=2"sin(2x+
22
が成り
指針
Sin
nπ
2
① とする。
(+1)=cos
2x
sin(2x+/-) であるから,①は成り立つ。
解答
[1] n=1のとき y'=2cos2x=2sin
[2]n=k のとき,① が成り立つと仮定するとy=2* sin(2x+k)
n=k+1のときを考えると,②の両辺をxで微分して
d
axy/tl=2 cos(2x+
RT
ごは
他に
yy(k+1)=2k+1sin(2x+
RT π
+
2 2
=2+1sin{2x+(k+1)x}
よって、n=k+1のときも①は成り立つ。
・次導関数]×[2]から、すべての自然数nについて ①は成り立つ。
(2) n=1,2,3のとき,順に
められていy=x=1,y=(x)"=(2x)'=2・1, y=(x")"=3(x2)"=32-1
(2)はい
したがって,y(n)=n!
① と推測できる。
n=1のとき y=1! であるから, ①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
求めるから)
y(k)=k!
すなわち
dk
x=k!
dxk
え、とりあえず
y(k+1)=
=k+1のときを考えると, y=xk+1で, (xk+1)=(k+1)xk であるから
dk
dk
dr (dxx+1)= {(k+1)x*}
=(k+1)
dk
dxk
dxkx=(k+1)k!=(k+1)!
よって, n=k+1のときも ①は成り立つ。
[1], [2] から すべての自然数nについて①は成り立ち
y(n)=n!
75 (1) y=logx
練習 n を自然数とする。 次の関数の第 n次導関数を求めよ。
(2) y=cosr
