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例題
(1)20! を計算した結果は2で何回割
含ま
(2) 25! を計算すると,末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
【類 法政大
基本112
指針 第1章でも学習したが, 1からnまでの自然数の積 1・2・3········(n-1)nanの
乗といい, n! で表す。
(1) 1×2×3×･････ ×20の中に素因数2が何個含まれるか,ということがポイント。
2=3220であるから, 22 23 2′ の倍数の個数を考える。
(2) 25! に 10 が何個含まれるか,ということがわかればよい。 ここで,10=2×5であ
るが、25! には素因数2の方が素因数5より多く含まれる。
したがって、末尾に並ぶ0の個数は,素因数5の個数に一致する。
素因数5の個数がポイント
17
最
3
CHART 末尾に連続して並ぶ 0 の個数
解答
(1)20! が2で割り切れる回数は, 20! を素因数分解したと
きの素因数2の個数に一致する。
素因数2は2の倍数だけ
THE
がもつ。
1から20までの自然数のうち、
2の倍数の個数は 20 を2で
割った商で 10
24 6 8 10 12 14 16 18 20
2:0
･･･10個
[2)
22 の倍数の個数は 20 22
で割った商で 5
22:
〇… 5個
23:
2個
23の倍数の個数は, 20 を 23
で割った商で 2
24:
1個
2 の倍数の個数は 20 を 24 で割った商で
2025 であるから, 2" (n≧5) の倍数はない。
注意 1からnまでの整数
のうち,kの倍数の個数は
nkで割った商に等し
い (nkは自然数)。
よって, 素因数2の個数は、全部で
10+5+2+1=18 (個)
したがって, 20は2で18回割り切れる。
(2) 25! を計算したときの末尾に並ぶ0の個数は, 25! を
素因数分解したときの素因数5の個数に一致する。
1 から 25 までの自然数
1 から 25 までの自然数のうち
5の倍数の個数は255で割った商で
5
52 の倍数の個数は,2552で割った商で
のうち2の倍数は12個
これと(*)から、指針
のの理由がわかる。
1
255であるから,5" (n≧3) の倍数はない。
よって、素因数5の個数は、全部で
5+1=6 (個)
******
(*)
したがって, 末尾には0が6個連続して並ぶ。
(*)から、25=10%(は
全い整数)と
10の倍数でない
される。
2
