EX (1,2, b1=1 および
033
1+1=2+3b, b+1=a+2b(n= 1, 2, 3. ......)
で定められた数列{a}{b}がある。 Cab とするとき
(1) C2 を求めよ。
(2) Cm は偶数であることを示せ。
(3)が偶数のとき, C7は28で割り切れることを示せ。
[北海道太]
←各漸化式に n=1 を代
b2=a1+2b1=2+2・1=4
(1) a2=2a1+3b」=2・2+3・1=7,
よって
C2=azbz=7.4=28
(2) [1] n=1のとき
C=ab=21=2であるから, Cn は偶数である。
[2] n=kのとき, C が偶数であると仮定すると,
Ck=2mm は整数)と表される。
n=k+1のときを考えると
Ck+1=ak+1bk+1=(20+3bk) (+20k)
=2a2+7akbk+65k2
=2ak+7.2m+60m²
=2(ax²+7m+3bk²)
+7m+3bk2は整数であるから, Ck+1 は偶数である。
よって, n=k+1のときも成り立つ。
[1] [2] から すべての自然数nに対してcmは偶数である。
(3) [1] n=2のとき
C2=28であるから, C7は28で割り切れる。
[2] n=2kのとき, C2kが28で割り切れると仮定すると,
C2k=28m (mは整数)と表される。
入する。
←数学的帰納法で証明。
←akbn=ch=2m
←漸化式から、すべての
n に対して, an, bm は整
数である。
←数学的帰納法で証明。
[n=2, 4, .... 2k, ... が対
象である。
