sinx=t と置く前の式を微分すると途中でcosxとかも出てくると思うのですが、なぜtと置いたらそのまま微分できるのでしょうか？

基本 例題 225 三角関数の最大・ 0000 20≦x<2のとき, 関数 y=2cos 2xsinx+6cos'x +7sinxの最大値と最小値を 求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。 解答 (弘前大 指針 まず, 三角関数の2倍角の公式 cos2x=1-2sin'x, 相互関係 sinx+cosxsu を利用して,yを1つの三角関数 sinx の式に変形する。 sinx=t とおくと, yはtの3次関数となる。 よって、後は p.350 基本例題 219 (1) と同様に,微分を利用して解く。 なお、おき換えを利用した後は、(おき換えた変数)のとりうる値の範囲に注意 CHART 三角関数のおき換え -1≦sin≦1, -1≦cos≦1に注意 y=2(1−2sinx)sinx+6(1−sinx)+7sinx =-4sinx-6sinx+9sinx+6 sinx=t とおくと,0≦x<2であるから -1≤t≤1 y を tの式で表すと, y= -4t-6t2+9t+6であり y'=-12t2-12t+9 =-3(4t2+4t-3) 2倍角の公式 cos2x=1-2sinx 相互関係 sinx+cos'x=1 ◆おき換えによって、 と 基本 例題 (1) 関数 y= 関数 y (2) 指針 (1) (1) (2) 8 C うる値の範囲も変わる 解答 y y C yatの3次関数 分して増減を調べる。 =-3(2t-1)(2t+3) y'=0 とすると,-1≦t≦1から -1≦t≦1におけるyの増減表は t= 12 17 t-1 ... : 右のようになる。 |1|2| 2 1 3-1/51 17 y' + 0 2 よってt=1/23のとき最大値 2 |極大 10 t 2 y -517 5 t=-1のとき最小値 -5 2 0≦x<2πから t=1/2のとき π x= 6' 5|6 π t=1のとき x= したがって π x= x= 63256 π 632 で最大値 12で最小値 -5 17 72 11 | sinx= sinx=1/2から x= 5 6'6 sinx=-1から x= 3 練習 ③ 225 0sx=2のとき、関数y=2sinxcosx-cosxcos 2x+6.cosx の最大値、乗り 値とそのときのxの値を求めよ。 p.368 EX 143 (114) (2) 練習 ③226

解説の(2)(3)で黒線が引いてあるところがわからないので教えて欲しいです!!

152 第6章 微分法と積分法 基礎問 153 ●時は 「時はケ 96 接線の本数 曲線 C:y=x-m 上の点をT(t, ピーt) とする. (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ. (2)点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a,bのみたす関係式 を求めよ。 ただし,a>0,b=α-a とする. (3)(2)のとき,2本の接線が直交するようなa, bの値を求めよ. 精講 (2)3次関数のグラフに引ける接線の本数は、接点の個数と一致 ます。だから, (1)の接線に A(a, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが、このときの 考え方は 95 注 で学習済みです。 (3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。 1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」 を式にしたものです。 接線の傾きは接点における微分係数(84) ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります。 解答 (1) f(x)=-x とおくと, f'(x)=3-1 よって, Tにおける接線は,小)× y-(t-t)=(3t2-1)(x-t) y=(3t2-1)x-2t3 86 (a=0 lg(0)g(a)=0 a=0 (a+b) (b-a+α)=0 ba³-a, a>0 745, a+b=0 (3)(2)のとき(*)より, t2(2t-3a)=0 Sack 参考 <α0 は極値をもつ ための条件 2本の接線の傾きはf'(0) (22) だから、直交する条件より 3a (0) ƒ (32)=-1. (-1)(a²-1)=-1 8 a²= 27 という a>0より,a= 2√6 _26 b=- 9 9 ポイント 3次関数のグラフに引ける接線の本数は であ 接点の個数と一致する 不 実は,3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で す。 3次曲線Cの変曲点 (89)における接線をひと するとき, 斜線部分と変曲点からは1本引ける ・Cと上の点(変曲点を除く) からは2本引ける ・青アミ部分からは3本引ける K (2) (1)の接線は A (a, b) を通るので b=(3t2-1)a-2t3 2t3-3at2+a+b=0 ...... ( * ) y=x-x (*) が異なる2つの実数解をもつので 第6章 (極大値)×(極小値) = 0 であればよい. g(t)=2t-3at2+α+b とおくとき, y=g(t) のグラフが,極大値, 極小値をもち, T 演習問題 96 195注 A(a,b){ (t,t³-t) 曲線 y=x6xに点A(2, p) から接線を引くとき 次の問いに g'(t)=6t2-6at=6t(t-a) g(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから 答えよ. (1) 曲線上の点T (t, -6t) における接線の方程式を求めよ. (2) で表せ (3)点Aから接線が3本引けるようなかの値の範囲を求めよ.

赤の印がつけられている部分で、なぜaが0の場合と0でない場合を考えるのでしょうか？

αを定数として,xの3次関数f(x)=x+6(1-a)x2-48ax について, 次の問いに答え よ。 (1) f(x) が極値をもたないときの値を求めよ。 (2) f(x) が正の極大値と負の極小値をもつとき, αの値の範囲を求めよ。 解説 (1) f'(x)=3x2+12(1-α)x-48a f(x) が極値をもたないのは, f (x) の符号が変わらないときである。 すなわち, 方程式(x) = 0 の解が重解, または実数解をもたないときであるから, 判別式をDとして D≤0 =(6(1-a))²-3-(-48a) =36a2+72a+36=36(a+1)²≤0 よって, a=−1のとき極値をもたない。 (2) f'(x) =3(x-4a)(x+4) f'(x) = 0 とすると x=4a, -4 (1)より, αキー1のとき, f(x) は x=4α, -4で極値をとる。 極値の積が負であればよいから, 求める条件は ここで f(4a)f(-4) <0 f(4a)=64z+96(1-4)a²-192a²=-32aa+3), f(-4)=-64+96(1-a)+192a = 32(3a+1) a=0 のとき, ① は成り立たない。 よって -322a2a+3)(3a+1) < 0 ・・・・・・ ・① a = 0 のとき, ① より (+3)(3a+1)>0 つ ゆえに 「a<-3 または 1/1 <a」 かつキ 以上より a<-3,132 <a<0.0. 1/3<a<0.0<a

(3) この後どうすればいいのか分からないので教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

261a, b を定数とし, 3次関数 f(x)=x-3ax2+3bx-ab を考える。 (1) 整式f(x)を整式 1/3f(x)で割り,商と余りを求めよ。 (2)f(x)が極値をもつために a, b が満たすべき条件を求めよ。 (3)f(x)がx=αで極大値 0 をとるような定数αの範囲と定数αの値を求め よ。 (0) (- [19 静岡大〕

解説お願いします🙇

204. 次の関数のグラフをかけ. (1) y=x-4x2-3x+2 1 (2) =1/2x+x+9x2-4 205. 曲線 y=x-3xについて, 条件を満たす接線の方程式をそれぞれ求めよ. (1)(1,−2) における接線 (3)(1,2)を通る接線 (2) 傾きが24である接線 要点 206.3次関数f(x)=ax+bx+cx+dが次の条件 (i), (ii)を満たしている. (i) 関数y=f(x)のグラフは点 (2,3)を通りこの点における接線の傾 きは5である. (i) 関数y=f(x)はx=1で極値1をとる. このとき,次の問いに答えよ. (1) 係数 a,b,c,d を求めよ. (2) 関数f(x)の極大値と極小値を求めよ. gol 大 207. 曲線 y=x-2x-5 をCとする. 点(3.0)から曲線Cへは複数の接線が引け

ー至急お願いしますー （1）はわかります （2）,(3)を教えてください🙇‍♀️ グラフ付きでお願いします🙏

2 【15点】 次のグラフを表す式を求めよ。 また, (3) は空欄を埋めよ。 -3<x, x≤1 (1)_2x+y-5=0 をx軸方向に3,y軸方向に7だけ平行移動した直線 y=-2x+18 (2)y=2x3-4x2+x-3 をx軸方向に-1,y軸方向に-2だけ平行移動したもの y=-x-3 (3)y-4=2(x-3)2 は y=(ア)のグラフをx軸方向に(イ), y 軸方向に (ウ) だけ平行移動したものである アイフォー12x+22

（2）が分からないので教えて頂きたいです。なぜ最小値を求める時に接線を通る時が優先されるのですか？端点を通る場合の方が小さいという可能性はないのでしょうか？教えて頂きたいです。

■ x, y が x2≦y ≦1のとき次式の最小値を求めよ. (1)x +y (2)4x+y 《解答》 不等式を xy 平面に図示すると右図の通り。 (1) x+y=k ⇔ y = -x+k ① ya とおいてこの領域と共有点をもつようなkの最小値を求 める. そこで y = x2 の接線の傾きが-1 (=①の傾き) になる接点を求めると,y' = 2x = -1より(-/12/14) 2 X −1 0 この点は領域内の点だから、 ① がこの点を通るときには最小となる. よって kの最小値は-123+1/2=-1 (2) 4 4x+y=1⇔y=-4x+10 ② とおいてこの領域と共有点をもつような1の最小値を求める.そこで y=x2の接線の傾きが4(②の傾き)になる接点を求めると, y=2x=-4より(-2, 4) この点は領域外の点だから,②が点(-1,1) を通るときは最小となる. よって1の最小値は-4+1= -3

画像の対称を示す問題で、自分は1＋a、1-a(aは実数)それぞれ代入した値が、正負が異なり絶対値が同じであることを示せばよいと思い、計算したのですが、なぜかそうなりません。計算ミスはしてない自信はあります。なぜでしょう？ 1＋aのとき、a³-15a-13 1-aのとき、-a... 続きを読む

380 3次関数 y=x-3x²-12x+1 のグラフの変曲点を求めよ。 また, グラフは変曲点に関して対称であることを示せ。

96の問題についてです。 解説の棒線をひいたところがわかりません。なぜそうなるのでしょうか？

96 X18 3次関数 f(x) 次の2つの条件を満たすという。 f(x) を求めよ。 f(x) lim =3, f(x) lim -=-1 x→0 x x→1x-1

[3][4]の場合分けについて aとa+1の真ん中の値（a+1/2）が3より大きいか小さいかで場合分けをしたのですが、どうしてこれだとダメなんですか？

332 a 重要 例題 214 区間に文字を含む 3次関数の最大・最小 ①①① f(x)=x-6x2 + 9x とする。 区間 a≦x≦a+1 における f(x) の最大値 M(α)を求 めよ。 基本213) 指針 まず, y=f(x) のグラフをかく。 次に, 幅1の区間α≦x≦a +1 をx軸上で左側から移動 しながら, f(x) の最大値を考える。 i なお、区間内でグラフが右上がりなら M (α)=f(a+1), 右下がりならM(a)=f(a) 更に、区間内に極小値を与える点を含むときは,f(a)=f(a+1) となるαとαの大小に また,区間内に極大値を与える点を含めば,M (α)=(極大値) となる。 より場合分けをして考える。 CHART 区間における最大・最小 極値と端の値をチェック 解答 f'(x) =3x2-12x+9 [1]間の右端で最 YA 指 ... x 1 3 =3(x-1)(x-3) f'(x) + 20 0 + f'(x)=0 とすると x=1, 3 f(x) |極大| |極小| > (4 0 最大 増減表から,y=f(x) のグラフは i 図のようになる。 y4 [1] α+1<1 すなわち α <0 のとき M(a)=f(a+1) 4 ( =(a+1)³-6(a+1)²+9(a+1) Co =a3-3a²+4 [2] a<1≦a + 1 すなわち [2] [3] [4] y=f(x) | | (x a O 1 3 Na+1 [2] (極大値)=(最大値) y X 0≦a<1のとき 最大 1. 4トン -- a01 a 3a+1 x a+1 M(a)=f(1)=4 次に, 2<a<3のとき f(α)=f(a+1) とすると al 3 \a+1 a3-6a2+9a-a³-3a²+4 ゆえに 32-9a+4=0& [3] 区間の左端で最大 yA よって __(-9)±√(-9)2-4・3・4 9±√33 a= 4-7 2.3 6 D 2 <α <3であるから, 5<√33 <6に注意してα= 9+√33 6>0 最大) a+1 [3] 1≦a< 9+√33 6 口 [4] 9+√33 6 のとき M(α)=f(a)=α-6a²+9a I+ af-n=(a)M O 1a3 a a+1 αのとき [4] 区間の右端で最大 M(a)=f(a+1)=α-3a²+4 y 以上から a< 0, 9+√33 6 ≦a のとき M (a)=a-3a+4; 0≦a<1のとき M(a)=4; 9+√33 1≦a< 6 のとき M(a)=α-6a²+9a 練習 ⑤ 214 めよ。 α 05 1 a 3 最大 La+1 a+1 f(x)=x-3x²-9x とする。 区間 t≦x≦t+2 における f(x) の最小値m(t) を求 618