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3. LABC
めよ。
基本12
a+b+cを
これを書き
になる。
のみを
用する。
ら、
きで
重要 例題 162 図形への応用 (2)
0000
点Pは円x2+y²=4上の第1象限を動く点であり, 点Qは円x2+y2=16上の第
2象限を動く点である。ただし,原点0に対して,常に ∠POQ=90° であるとす
る。また、点Pから x軸に垂線PHを下ろし,点Qからx軸に垂線 QK を下ろ
す。更に ∠POH=0 とする。このとき, AQKH の面積 S は tan0のと
き最大値をとる。
[類 早稲田大〕
重要 159
指針> AQKH の面積を求めるには,辺KH,QK の長さがわかればよい。そのためには,点P
と点 Qの座標を式に表すことがポイント。
半径rの円x2+y2=2上の点A(x,y) は, x=rcosa, y=rsina (aは動径 OA の表
す角) とおけることと,∠POQ=90°より,∠QOH=∠POH+90° であることに着目。
解答
OP= 2,∠POH=0であるから, Pの座標は
(2 cos 0, 2 sin()
0Q=4,∠QOH=0+90° であるから,Qの座標は
(4cos (+90°), 4sin (0+90°))
すなわち (4sin 0, 4cos 0 ) ただし 0°<0<90°
ゆえに
-1/213KHQK-2/12 (2cos0+4sin0) 4cos0
=2(2cos20+4sin Acos0 )
S=
ゆえに
=2(1+cos20+2sin20)=2{√5 sin (20+α)+1}
=
1
√5'
2
ただし,αは sinα=
√5
0°<< 90°から (0°<) a<20+a<180°+a (<270°)
よって,Sは20+α=90°のとき最大値2(√5+1) をとる。
1
20+α=90°のとき tan20=tan (90°-α)=
tan a
=2
cos α =
2 tan 0
1-tan²0
0° 090° より tan 0 0 であるから tan0=
,
よって
COS Q
sin a
=2
tan 20+ tan 0-1=0
1+√5
2
三角関数の合成。
0°<α <90° を満たす角。 α は具体的な角として表す
ことはできない。
K
sing=
練習
② 162 に対して、次の条件 (a), (b) を満たす2点B, C を考える。
yA
2
O
4
0H2x
P
COS Q=
√5
<tan 0 についての2次方程
式とみて解く。
(a) B はy>0 の部分にあり,OB=2 かつ∠AOB=180° -0である。
(b) Cはy<0 の部分にあり,OC=1かつ∠BOC=120° である。 ただし
△ABC は 0 を含むものとする。
(1) △OAB とAOACの面積が等しいとき, 0 の値を求めよ。
2
/5
0を原点とする座標平面上に点A(-3,0)をとり, 0°<<120°の範囲にある
ののの
253
4章
12 三角関数の合成
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