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282
0
n
x/<
2
基本例題 164 定積分と和の極限
次の極限値を求めよ。
n/n+k
n4
Ase
指針
hから
(1) lim E
n→∞k=1
♡に
h=
3
とばす
解答
みにする。
lim
① 与えられた和S, において,
とき、②Tの第k項がf-
S=Tの形に変形する。
n
こ
dx または lim
3-S
1が0になっただけー。
のように, 和の極限を定積分で表す。 その手順は次の通り。
YA
を見つける｡
③ 定積分の形で表す。 それには
(2) S=lim
いて、口をめっちゃ
よって S=lim
Sw
(2) lim Σ
n→∞k=1
n-∞0 k=1
n
(またはSof() f(x), 1/27
n
k=1
と対応させる。
n
求める極限値をSとする｡
(1) (n+k)³=(n+k) ³ - 1 (n+k)³ = 1 (1+2) ³
=
n
1からn=
練習 次の極限値を求めよ。
② 164
れに limimを
(1) lim 2 Asin kr
2
n→∞k=n
100 n
(n) の形になるような関数 f(x)
をくくり出し,
- ( 16 547) = √ ( 1 + x) ³ dx = [ 2 (1 + x)³] = ³²
n
(下にしていく。
1(k+n) (k+2n)
18 √ ( 12 ) = S(x) dx
n
3
「だから
1
n-co₂_n k=1
²² 20 ( 1 ² + 1) ( ^² + 2)
●)ここで、(x+1)(x+2) x+1 +
n
1
a
ると
a=-1,b=1,c=1
14 / 0) 207 S=Sl= x + 1 + (x + 1)² + x + 2]dx
1
1
x+1 (x+1)x+2
面積
部
れを足していく
n
k
2 (n + k) ¹ = lim ¹ 2 (1+2) ³
n→∞nk=1
1
(1²--20g(x+1) +++ log(x+2)
x+1
3
=1/12/+ +log-
→dx
n?
33/2 3
2
4
1
=
= S₁ (x + 1) ² ( x + 2) dx
b
+
(x+1)² x+2
0000
[(1) 琉球大, (2) 岐阜大】
EST
p.hou 基本事項 重要 166\
とす
y=f(x)
M
f(x)
0 12. k-1 kd-11*
n n
n
n
n
<f(x)==
n
参考 積分区間は,
lim Z〇の形なら、すべて
n→∞k=1
0≦x≦1で考えられる。
◄f(x)=(1+x) ³
kn
dx
(x+1)(x+2)
右辺の分数式は,左のよ
うにして、部分分数に分
解する。分母を払った
1=a(x+1)(x+2)
・+nen
+6(x+2)+c(x+1)^
の両辺の係数が等しいと
して得られる連立方程式
を解く。 もしくは、
x=-1,-2,0など適当
な値を代入してもよい｡
1
(2) lim/m/s (eir+2ch+3ei++nek)
nn
[(2) 岩手大]
p.289 EX139
