基本 例題 15
塗り分け問題 (1)
赤、青、黄、白の4色の絵の具で塗り分けるとき
右の図で, A, B, C, D の境目がはっきりするように,
すべての部分の色が異なる場合は何通りあるか。
(4)
同じ色を2回使ってもよいが、隣り合う部分は異な
色とする場合は何通りあるか。
CHART & SOLUTION
00000
A
C
D
B
塗り分け問題 特別な領域 (多くの領域と隣り合う, 同色可) に着目
(2)最も多くの領域と隣り合うCに着目し, C→A→B→Dの順に塗っていくことを考える。
(1) A, B, C, D の文字を1列に並べる順列の数と同じ。
答
(1) 塗り分け方の数は, 異なる4個のものを1列に並べる方
法の数に等しいから 4!=24 (通り)
(2) C→A→B→Dの順に塗る。
C,A,Bは異なる色で塗るから,
C→A→Bの塗り方は
4P3=24 (通り)
DはCとしか隣り合わないから,
C→A→B→D
4 × 3 × 2 × 3
Cの色以外の3通りの塗り方がある。パー!
よって, 塗り分ける方法は全部で
24×3=72 (通り)
a-
Cの色を除く
2 CとAの色を除く
3 Cの色を除く
← A B C D に異なる4色を
並べる方法の数に等しい。
A, B, D の3つ
Cは,
の領域と隣り合う。 A
とBは、2つの領域, D
は1つの領域と隣り合
う。
INFORMATION
(2)の別解
塗り分けに使えるのは4色。 Cは3つの領域と隣り合うから 4色と3色で塗り分け
る2通りについて考えてみよう。
[1] 4色の場合 (1) から 4!=24 (通り)
2] 3色の組合せは,どの1色を除くかを考えて 4通り
その3色の組に対して, C→A→Bの塗り方は 3!=6(通り) SE
DはCと異なる色の2通りで塗り分けられる。
よって、3色の塗り分け方は
[2]から
24140
4×6×2=48 (通り)
