三角形の性質
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例 題 284
AABC の内部に点Pがある。AP, BP, CP と対辺
との交点をそれぞれ D, E, Fとする. 10円
1) EF と AP との交点をQとする。点Pが△ABC
の重心のとき,DP:PQ を求めよ。
(2) AD=l, BE=m, CF=n とし,△ABCの内
接円の半径をrとする.点Pが△ABC の垂心
三角形の重心内心
AA
F
E
P
B
D
C
YA
のとき,
r
1-1
1
1
が成り立つことを示せ。
e
m
n
考え方(1) Pは △ABC の重心より,E, Fは AC, AB の中点であり,AP: PD=2:1
(2) △ABC の内心をIとすると,△ABC=AIBC+△ICA+△IAB
(1)点Pが△ABC の重心のとき, E, F はそれぞれ AC, AB
の中点であるから,中点連結定理より,
よって,
CP 点Pが△ABC の重心より,
したがって,
(2)AABC の内心をIとする.
解答
FE/BC
△BPDのAEPQ
BP:PE=2:1
JM
F
Q
E
DP:PQ=BP:PE=2:1
IP
「0
B
D
C
興時全宝急AABC=AIBC+AICA+△IAB
れ等しいから
AAPL
よって、 (BC+CA+AB)r
1
A
×BC×ァ+;×CA×ァ+ラ×AB×r
2
線であるんエMH ADIMH
FA
AABC=S とおいて整理すると,
BC+CA+AB
2S
E
の
1
…0
r
B D
1
C
D=}×CAXBE=}XABXCF
ー方,
△ABC=;×BC×AD=
1
-×CA×BE=→×AB×CF
2S=BC×&=CA×m=AB×N
よって,
BC=, CA= 2S
2S
AB=
n
m
これらを①に代入すると,
1__1/2S」 2S
2Se
2S
1
1
n
m
n
m
r
Focus
重心は三角形の3本の中線の交点で, 各中線を 2:1 に内分
m血角の二等分線の交点で, 内接円の中心
o
