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52
KONGRE
基本例題 29 絶対値と不等式 8X①000
次の不等式を証明せよ。
(1) |a+b|sa|+|bl(2) la|-|b|≤|a+b)(3) |a+b+c|≤|a|+|b|+|
基本28 重要 30
de+pas
指針 (1) 例題 28 と同様に,(差の式)≧0 は示しにくい。 辺
|A=A2 を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで
A≧0, B≧0の
A≧B⇔A'≧B'⇔A'-B'≧00mm)
の方針で進める。また,絶対値の性質(次ページの①~⑦) を利用して証明してもよ
(2),(31) と似た形である。 そこで, (1) の結果を利用することを考えるとよい。
CHART 似た問題 1 結果を利用
方法をまねる
解答
口(1)(|a|+|6|)²-|a+b=a²+2|a||6|+b²-(a²+2ab+b2)
=2(abl-ab)≧0
この不等式の辺々を加えて
(2)(a
よって
la+b≧(|a|+|6|)
|a+b≧0,|a|+|6|≧0から
|a+b|≦|a|+|6|
この確認を忘れずに。
別解一般に,-|a|≦a≦al, -16≧0≦16 が成り立つ。|4|≧4,|A|≧-A から
-|A|≦a≦|A|
−(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
したがって
|a+6|≦|a|+|6|
(2) (1) の不等式でa の代わりに a+b, の代わりにと
おくと
de+nas
(a+b)+(-6)|≦|a+6+1-6|
よって |a|≧|a+6|+|6|
[別解 [1] |a|-|b|<0のとき
a+b≧0であるから,|a|-|6|<|a+6|は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0のとき
METOD
|a+bP-(|a|-|6|)²=a²+2ab+b2-(²-2|a||3|+62)
=2(ab+labl)≧0
ゆえに |a|-|6|≦la+b1
よって
(|a|-|6|)≦la+b2
|a|-|6|≧0, la +6|≧0であるから
よって
(1)
[1],[2] から
lal-lb|≤|a+b|
(3) (1) の不等式での代わりにb+c とおくと
la+(b+c)|≦|a|+16+cl
la+b+cl≦|a|+|6|+|c|
どのよ
≦|a|+|6|+|c|
不
oktob
SARA
◄|A|²=A²
|||ab|=|0||0|
10-357 20
TATAR
-B≤A≤B
⇔ [A]≦B
ズーム UP 参照。
lal-1b|≤|a+b||+o)S\
|a|-|6|<0≦|a+6
[2] の場合は,(2) の左辺
右辺は0以上であるから、
(右辺(左辺) 0 を示
す方針が使える。
BY 05 (67)S
1930
次の不等
不等式√²+ 62 +1 √ x2+y2+1≧lax+by+1を証明せよ
**
(1) の結果を利用。
(1) の結果をもう1回利用。
(16+cl≦|6|+|cl)
