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重要 例題 8 複素数の実数条件
絶対値が1で,2-zが実数であるような複素数zを求めよ。
CHARTO SOLUTION
複素数の実数条件
αが実数⇔a=d
zとえの和と積の値からぇぇを解にもつ2次方程式を作る。
(解答)
|z|=1 から
また,
|z|²=1
zは実数であるから
2³-2=2³-z
ここで,z-z=z-z=(z)-zから
(z)³-z=z³-z
ゆえに
したがって 2³—(2)³—(2-2)=0
(左辺)= (z_z) {z2+zz+(z)^}-(z_z)
=(z_z){z2+1+(z)²−1}
=(z−z){z²+(z)²}
(z+z2-2zz=0
よって
(z−z){z²+(z)²}=0
ゆえに z=z またはz2+(z)2=0
[1] z = z のとき
zは実数である。
よって, |z|=1 から |z =±1
[2] z'+(z)=0 のとき
zz=1
z=±1,
t2+√2t+1=0 の解である。 よって
[1],[2] から
0=8+1
0=80$+01+8
ゆえに
(z+z)²=2
よって
2+2=± √2
z+z=√2 のとき, zz = 1 から, 2数z zは2次方程式
t2-√2t+1=0 の解である。 よって
√√√2 ± √2i
t=
2
z+z=-√2 のときも同様にして2数z zは2次方程式
-√√2+√√2i
2
00000
==|z|2
t=
√√2+√√2i -√√2 ±√√2i
2
2
0=s+ūtu div=5+8+
αが実数α=u
■α-β=a-B
a"=(a)"
<-a³-6³
基本 5,6,7
=(a−b)(a²+ab+b³²)
<-zz=1
(80)168- (1+zz=1
◆解の公式を利用。
