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数αの
基本216
とすると
3 で表し、
きる。
とする!
るので、
B
0 +
極小
0
もつとき
2乗し
240 (1)
古屋大]
218
00000
f(x)=x-8x+18kx2が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め
[福島大〕
基本 211.214
⑩
4次関数f(x) x=pで極大値をもつ
x=pの前後で3次関数f(x) の符号が正から負に変わる
であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を
考える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメー
ジするとよい。 なお, 解答の右横の図はy=x(x²-6x+9k) のグラフである
f(x)=4x²-24x²+36kx=4x(r2-6x+9k)
f(x)が極大値をもたないための条件は,f'(x)=0 の実数
解の前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことであ
ある。このことは、 f'(x)のxの係数は正であるから、3次
方程式f'(x)=0 が異なる3つの実数解をもたないことと
同じである。
f'(x)=0 とすると x=0 / または x²6x+9k#0
よって、求める条件は、x6x+k=0が
[] 重解または虚数解をもつ [2]
[1]
6x19k-0の判別式を!と
2=(-3)2-9k=9(1-k)であるから
4
よって
したがっ
4 次関数が極大値をもたない条件
極値もたんD=0,PKO
[2]x²5x+9k=0 に x=0を代入すると
k=0, k≧1
異なる3実数解
By
(3つある。
1-k≤0
(①の前後でさがする、持してる
のはもたら
でこ
x=0を解にもつ
ると
≤0
キ
極
小
α=Br
k=0
ル
極
a β=y
x
f'(x)
XX=08214²²4²37813!
8
f(x) 極大
k≥1
a
k=0
+
ya
0
あっとき
山鹿
k>1/
3つもたん
D
k=1
3つもにひ
[4次関数の極値とグラフ]
一般に, 4 次関数f(x) [ 4 次の係数は正] に対し, f'(x) = 0 は
3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。その実数解をαとし、他の2つの解が実数で
あれば B., y とする。このとき, y=f(x)のグラフは,次のように分類できる。 特に、極大値をと
るのは①の場合だけである。
次の係数が負のときは,図の上下が逆になり, 極大と極小が入れ替わる。)
WHEA
夕
347
② 2重解ともう1つの実数解 ③ 1つの実数解と異なる2つの虚数解
または3重解 (α=β=y)
a=β<y, a<β=y
www
極
a
22
INA
fish
小
p.348 EX 141
(218) ただ
f(x)=x^+4x+αx² について,次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。
(2) 極大値と極小値をもつ。
6
章
関数の増減と極大・極小
あらから
得
容
大き
の紹介
広く
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