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F
E
P
Q
応用問題
動く点と立体の体積 関数y=ax' と一次関数
(福井)
図のように, AB=5cm, AD=3cm, AE=4cmの直方体がある。
点Pは,点Aを出発して, 対角線 AH, 辺 HG, GF, FE, EA上をA→H
→G→F→E→Aの順に毎秒2cmの速さで動き, 頂点に達したところで停止する。
点Qは,頂点Aを出発して, 辺AB, BC上を, A→B→C→B の順に毎秒1cm
の速さで動き, 点Pが停止すると同時に停止する。 2点P, Qが同時に頂点Aを
出発し, 出発してから秒後の三角錐 PDAQの体積をycmとする。 ただし,
x=0 のとき,y=0 とする。
H
B
52
このとき、 次の問いに答えよ。
D
(1) 点Pが対角線 AH 上にあるとき,
① xの変域を求めよ。 AD=3, DH=4で, ∠ADH=90° だから,
三平方の定理より, AH = √4°+32=√25=5(cm)
①
0≤x≤
点Pは毎秒2cmで進むから, AH間は
5
2
秒で通過する。
16
② x=2のときのyの値を求めよ。
(1) ② y=
1
X3X2X
3
16 16
5
5
AP=4 AQ=2 点Pの辺AD からの高さは, 4×
③uをェの式で表せ。△DAQ を底面とすると,高さは 1/2×2=1/31
x2x=
4 16
5
- (cm)
5
5
45
③y=
2
IC
5
y=- ×
3
2
8
-XC=
xの変域
5
-≤x≤5
(2)点PがHG 上にあるとき, xの変域を求めよ。 また, そのときのyをxの
式で表せ。 AG 間は10cmだから, 点Pは5秒後にGに達する。
(2)
2
2015
y=
2x
01の高さは,DH=4 よって,y=1/X/X
(3)5x9のとき、xの値に関係なく, yの値は一定になることを言葉や数、
式などを使って説明せよ。
このとき,点Qは辺AB上にあり, ADAQを底面とする三角錐 PDAQ
11
-x-x3xxx×4=2x
(4)
√5.
51
秒後
5
(1) ①
(説明)
(例) 三角錐 PDAQ の底面を△DAQ とみると,
点P は辺 GF, 辺FE上を動くので、三角錐の高さは
4(cm) で一定である。 また, 点 Qは辺BC 上を動くので、
△ADH は辺の比が
3:45 直角三角形。
A②
1
底面の面積は
2
15
2
×3×5= -(cm²) で一定である。 した
PからADに垂線PI
をひくと, PI: HD =
AP: AH PI:4=4:5
より, PI=- -(cm)
16
5
っては1/2×
15
2
-×4=10(cm)で一定である。
S
HA
(4) 点Pが辺HG 上にある
とき, 2x=4 より x=2
このとき、12x5だか
5
(4)三角錐 PDAQの体積が4cmとなるのは何秒後か, すべて求めよ。
点Pが辺 AH 上にあるとき 1/3x=4=5x≧0より,x=15
点Pが辺EA 上にあるとき, 9≦x≦11で, 点Qは辺BC上にある。
1 1
このとき, y=-x = ×3×5×(22-2x)=-5x+55
2
51
-5x+55=4より, 5x = 51
x=-
5
ら、問題に合わない。
点Pが,辺 GF,辺FE
上にあるとき,(3)より,
y=10で,問題に合わな
い。
