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00000
重要 例題 133 確率と漸化式 (2) ・・・ 隣接3項間
座標平面上で,点Pを次の規則に従って移動させる。 問
1個のさいころを投げ, 出た目をaとするとき, a≦2 ならばx軸の正の方向へ
原点を出発点としてさいころを繰り返し投げ, 点Pを順次移動させるとき, 自然
αだけ移動させ, a≧3 ならばy軸の正の方向へ1だけ移動させる。
数nに対し,点Pが点 (n, 0) に至る確率をpm で表し, p=1 とする。
(1) +1 を P, Dn-1 で表せ。
(2) n を求めよ。
指針▷ (1) Pn+1:点Pが点(n+1, 0) に至る確率。
点Pが点 (n+1, 0) に到達する直前の状態
を次の排反事象 [1], [2] に分けて考える。
[1] 点 (n, 0) にいて1の目が出る。
[2] 点(n-1, 0) にいて2の目が出る。
(2) (1) で導いた漸化式から を求める。
Pn+1 = = = = P₂ + 1 - p
よって
(2) 5 Pn+1+.
Pn+17
+ / - P₁ = = = 2 (pn + 1/3-Pn-1),
-pn-1
- 12 D₁ = - = -(Da = - = - Du-1)
Pn=
-Pn-1
3
(②③)÷/から
Pn+1+1pn=pit
po=1, p=1/2から
x + ₁ - 1 1/2 P₁ = ( D ₁ - 1 1/2 Po ) · ( - 13 ) "
解答
(1) 点Pが点(n+1, 0) に到達するには回
[1] 点 (n, 0) にいて1の目が出る。
[2点(-1, 0) にいて2の目が出る
の2通りの場合があり, [1], [2] の事象は互いに排反である。 点 (n, 0), (n-10) に
る確率はそれぞれ
よって
Pn, pn-1
63,
\n+1
2 + + — + P ₁ = ( 1² ) ² + ²
Pn+1+
n-1
pn-1
- Pn=(P₁+ } } Þo)·( ² )", +1) „J+JS ARE
(2) (+)
3118
2,
[2]
6
n+1
-- / / (( - )**'-(- - -) **)
=
pm
n
11
6
〔類 福井医大]
基本 123,132
n+1
x=x+言から
6x²-x-1=0
n+1
Pn+1 - - 2 P = (- - -) 0 3EROBE
+1¯
y軸方向には移動しない。
pe+1
245
ape+1
よってx=-13.0/1/2
よってx=-
3'
(a, B)=(−}}, }),
(1/12-1/23)とする。
