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ONESA
重要 例題 43 隣接3項間の漸化式 (3)
X
00000
n段(n は自然数)ある階段を1歩で1段または2段上がるとき,この階段の
がり方の総数を an とする。 このとき, 数列{an} の一般項を求めよ。
基本41
指針 数列{a} についての漸化式を作り,そこから一般項を求める方針で行く。
1歩で上がれるのは1段または2段であるから,n≧3のときn段に達する 直前の動
作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法
[2] 1段手前[(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法
の2つの方法がある。 このように考えて、まず隣接3項間の漸化式を導く。
→漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが,ここでは
特性方程式の解α,βが無理数を含む複雑な式となってしまう。計算をらくに扱う
ためには,文字α βのままできるだけ進めて、 最後に値に直すとよい。
|n=2
a=1, a2=2である。
解答 n3のとき, n段の階段を上がる方法には,次の [1], [2] の
場合がある。
2段
an通り
[1] 最後が1段上がりのとき、 場合の数は (n-1) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
[2] 最後が2段上がりのとき、 場合の数は (n-2) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
an通り
[1]
最後に1段上がる
n FX
| (n-1) 段
よって
参考
フィボナ
ある月
新たに
まれた
ろうか
月末の
1.
となり
漸化式
a=
この
{az}
かる
①で
題 4
[2] 最後に2段上がる
ここまで an-1 通り
an=an-1+an-2(n≧3)
(-2) 段
(*)
n段
(n-1) 段
ここまで an-2 通り
an=
17
ない
和の法則 (数学A)
...
この漸化式は,αn+2=an+1+an (n≧1) ･･･ ①と同値である。
x2=x+1の2つの解をα,β(a<β) とすると, 解と係数の
関係から
①から
a+β=1, aß=-1
an+2-(a+β)an+1+αßan=0
よって
an+2-aan+1=β(an+1-aan), a2-aa=2-α
an+2-Ban+1= a(an+1-Ban), az-βa1=2-β
......
(*)でn→n+2
特性方程式
x2-x-1=0の解は
x=
1±√5
2
a=1, a2=2
......
(2
(3
②から an+1-aan=(2-α)β7-1
③から
......
(4)
<arn-1
an+1-Ban=(2-β)α7-1 (5)
④ ⑤ から (Ba)an=(2-α)β-1-(2-β) an-1
⑥
an+1を消去。
1-√5
1+√√5
a=
B=
2
,
2
であるからβ-α=√5
また, α+β=1, a2=α+1, β2=β+1であるから
2-α=2-(1-β)=β+1=β2 同様にして
よって, ⑥から
1+√5 \n+1
an=
2
次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
a1= a2=1, an+2=an+1+3an
α, β を値に直す。
2-α, 2-βについて
は,α, β の値を直接
代入してもよいが,こ
こでは計算を工夫し
ている。
[類 北海道大]
2-B=a²
1-√√5
練習
④ 43
な
