基礎問
114
64 媒介変数で表された関数の微分
D
第5章 微分法
Ly=1-cos0
x=0-sinf
0で表せ.
精講
変数tを用いてx=f(t), y=g(t) の形で (x,y)が与えられ
るとき,t の値が1つ決まると点 (x,y) が1つに決まるので
動かすと点(x,y) が動いて, ある曲線Cができ上がることが
[x = f(t)
Ly=g(t)
媒介変数表示といいます.(数学ⅡI B45
このような形で表される関数でも,t を消去して「y=(xの式)」の形に
れば今までと同じように微分できますが,そうでないときにどうやって微
るのかが今回のテーマです。 まず, 記号の復習です.
できます. このとき
次に,
d
dy
○は「○をxで微分する」という意味ですから, は「yをxで微
d.x
dx
る」ことを意味する記号です.
(00 <2π) で表される関数について
また、
d'y
は「yをxで2回微分する」ことを意味する記号です. 「2」
dx²
dr
do
いている位置が分子と分母で違うところに注意してください。 次に,微分
ときに使う公式ですが,これはポイントを参照してください.
解答
dy
dx
dy
do
dy dy
dx' dr
をtを媒介変数(パラメータ)とする曲線
=(0-sin0)=1-cose, cy=(1-cose)'=sin0
sino
dx 1-cos
de
[ddy
dx²dx
sino
1-cos0,
【 注 1
ポイント
注2
do
d sino
dx de 1-cos
注2
1
1-cos 0
d sin (
dx 1-cos 0)
cos0-cos2d-sin20
(1-cos)³
演習問題 64
x=f(t), y=g(t) と表されているとき,
dy
dy dt g'(t) d²y
dx
dx 1
dy
(sin 0) (1-cos)-sin 0(1-cos)'
(1-cos0)²
-60 商の微分
=
dy
dx
この基礎問では,
注1
味ですが、文字が入っていないのにどうやってxで微分するのでしょう
か? そこで,次の性質を利用しています.
d 0=do. do (=do. do
dx
dx
dx
sing
do (1-cose)²
は、約束によれば,
x=
cos 0-1
1
(1-cos 0)³ (1-cos0)²
d (dy
dx f'(t)' dx² dx\dx,
dt
do
は約束によれば, 0 をxで微分するという意味ですが,
dx
sino
1-cos 0
x=0-sin0 を 「8= (xの式)」の形にできるわけではありません.そこで,
「逆関数の微分」といわれる次の公式を利用しています。
l-t
2t
y=
1+ t², 1+12
をxで微分するという意
do 1 として用いています。
dx dx
do
dy
(1) 関数x=y²-2y(y> 1) について, dx
(2)
大切な公式
(t=0) について
115
大切な公式
da
で表せ.
dy d'y
dr' dre
をtで表せ.
第5章
章
83)
(50)
ta
