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1000000
基本例題 104 倍数の判定法
(1) 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき,□に入る数をすべて求めよ。
(2) 6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき, 前の数と後の数の差が
7の倍数であるという。 このとき, N は 7の倍数であることを証明せよ。
(例) 869036の場合
869-036833=7×119 であり, 869036=7×124148
[(2) 類 成城大]
指針 (1) 例えば, 8の倍数である 4376は, 4376=4000+376=4・1000+8･47 と表される
1000=8･125は8の倍数であるから, 8の倍数であることを判定するには,下3桁が80
(ただし,000の場合は0とみなす)
倍数であるかどうかに注目する。
(2) Nの表し方がポイント。3桁ごとに2つの数に分けることから, N=1000a+b
(100≦q≦999,0≦b≦999) とおいて,Nは7の倍数N=7k(kは整数)を示す。
解答
(1) 口に入る数をα (a は整数, 0≦a≦9) とする。
下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となるから
700+10a+6=706+10a=8(a+88) + 2 (a + 1 )
2 (α+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数となる。
よって
α+1=4, 8 すなわち α = 3, 7
したがって、□に入る数は 3, 7
(2) N=1000a+6 (a,bは整数;100 ≦a≦999,0≦b ≦999)
とおくと,条件から, a-b=7m (mは整数)と表される。
ゆえに, α=6+7m であるから
N=1000(b+7m)+b=7(1436+1000m)
したがって, N は 7の倍数である。
例えば,987654122 は、 右の図において, (① +③)-②から
(987+122)-654=455=7×65
したがって, 987654122は7の倍数である。
練習
②104
基本事項
706=8・88+2
0≦a≦9のとき
1≦a+1≦10
検討 7の倍数の判定法
上の例題 (2) の内容を,一般の場合に拡張させた、 次の判定法が知られている。
一の位から左へ3桁ごとに区切り、左から奇数番目の区画の
和から、偶数番目の区画の和を引いた数が7の倍数である。
869036-869000+36
| = 869×1000+36
のように表す。
10016+7000m
=7・1436+7・1000m
なお,この判定法は, 10°+1=7×143, 10°−1 = 7×142857, 10°+1 = 7×142857143,
ことを利用している。
例987654122
3桁ごとに区切ると
987654/122
①②
(1) 5桁の自然数 493の□に,それぞれ適当な数を入れると9の倍数になる
このような自然数で最大なものを求め上
(2) 5桁の自然数
!
②
