この問題の④がn=1の時も成り立つとありますが、どこで成り立っているのかが分かりません！誰か解説してくださるとありがたいです、よろしくお願いいたします🙇

B1-40 (58) 第1章 数 列 Think ○見るたり多度 例題 B1.27 いろいろな数列の和 ( 2 ) Sm=1−22+32-4'++ (−1)" を求めよ. 解答) その和を分けて考える必要がある. nが偶数、つまり=2mmは自然数のとき、 wwwwwww wwwwwwwwwwwwwww Sam=1-2+3-4++ (2m-1)-(2m)2 2m III Colu nが奇数、つまり=2m+1のとき =(12−22)+(32-4°)+…+{(2m-1)-(2m)2} 第 m項 S2m+1=1-2°+32-4°++ (2m-1)-(2m)+(2m+1)2 =(12-2)+(3°-4°)+…+{(2m-1)-(2m)2}+(2m+1)2 nが偶数のとき, n=2mmは自然数) とおくと, wwwwwwwwwwwwwww. Sm=S2m=(12−22)+(3-4)+…+{(2m-1)-(2m)2} ={(k-1)-(2k)}=2(-4k+1) k=1 第 (2m+1)項 いう m 第3項 こ①初う例 n=2,4,6 数列 {(2m-1)^- 初項から第 =-4mm(m+1)+m=-m(2m+1) n=2mより,m=in を①に代入して, == S,=-1/2"(n+1) ② __(n+1) での和と考える 和はnで表す っちの方 ○かりやよい wwwwwwwwwww nが奇数のとき,n=2m+1(mは自然数) とおくと, Sw=Szm+1= (12-2) + (3-4) +...・・・ +{(2m+1)-(2m)2}+(2m+1)^ =Szm+(2m+1)=-m(2m+1)+(2m+1)2 (m+1)(2m+1) (3 n=2m+1より,m= (n-1) を③ に代入して, S.=2+1/2)(n-1+1)=1/2m(n+1)……③ ④は n=1のときも成り立つ. よって,②④より, Focus n=3,5,7, n=1 とすると 1/12=1 Sn=(-1)+12 n(n+1) 場合 この形のままでもよ nが偶数の場合と奇数の場合に分けて考える S2m+1=S2m+a2m+1 練習 一般項am=(-1)n(n+1) で定められる数列の和 B1.27 S„=a+a2+α+... + α を求めよ. ***

奇数の時、なぜ2m+1なんですか？1項目含まれなくないですか、、2m−1でもいいんですか！

Think 例題 B1.27 いろいろな数列の和(2) **** Sh=12-22+32-4°+......+ (−1)"1" を求めよ. +1 EN OS 自

数学B　数列　いろいろな数列 の和を求める問題です 赤マーカーで囲った部分がなぜこのように計算するのかわからないです> <。

1 +1 したがって S: (1-3m) 4"-1 3 (3n-1) 4"+1 ****** + 9 n 3"-1 2 3 (2) S=1+1/3+ + 32 両辺に 1/3を掛けると 1/2s= 1 2 + + + 3 32 辺々引くと S- n-1 n + 3n-1 3" 1 n + + 3n-1 3n s-1/2=1+1/+1/3/2 よって 2-3 ·S= 3 1-(1/2) 1- 1-31-3 n = = 3n n 1. 3n 3+1-2n-3 2.3" 3n+1-2n-3 したがって S= 4.3"-1 70

三枚目のシグマの計算が分かりません！あと、この3つの問題全てなんですが、格子点の数を求める際、+1しているのが何故かが分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

B1-42 (60) 第1章 数 列 B1.28 格子点の個数 **** 自然とするとき、次の条件を満たす整数の組 (x, y) はいくつあ (1) ps/y/≤2p, ps/x/≤2p か、 (2)x+2y≦2p.y≧0x20 (3) 0≤ y ≤500, 0≤x≤√√ 考え方 座標がすべて整数である点を梢子点という。 (1)(2) 具体的な数を入れて考えてみるとよい。 たとえば、(2)では, 0 (学習院大・改 (2,3) 2 x 34p=1 p=2 p=3 30 2 3 10 x O 4 O 0 となり,p=1のとき, 1+3=4 p=2 のとき, 1+3+5=9 p=3 のとき, 1+3+5+7=16 p=4 のとき, 1+3+5+7+9=25 となっている。 p=4 一般に, 直線 y=k (k=p.p-1, ......, 0) 上には, それぞれ 1, 3, 5, (2p+1) 個の格子点が並んでいる。 (3) 0≤x≤√y. (0≤)x²≤y 0≤y≤500, 0≤x≤ y ≤√500=10/5=22.4 より 右の図のようになる。 y 1500 Jx ここでは,与えられた条件を 変形し x²≤y≤500 0 x=k上にある格子点の個数を考える. (2) y YA 2p p+1 p -2p-p O p: 2px p+1 Fo 解答 (1) 領域は、右の図のように、 1辺の長さの正方形4つ分 である。 x=p上にある格子点の個 数は, y=p,p+1,........ 2p, KAEROP-p-1, -2p の{2p-(p-1)}×2=2(p+1) (個) 同様にして, x=p.......... 2p,p. 上の格子点の個数は,それぞれ, x=p上の格子点の 2(p+1) 一方,xp, -2p -2 練習 2(p+1) 個 線の数は 2 (p+1)* B1.1 **

解答の計算方法が分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。上から3段目までは分かります 宜しくお願いいたします🙇

目標 2 いろいろな数列 (57) B1-39 Think 例題 B1.26 いろいろな数列の和 (1) **** 自然数 1, 2, ···...,nについて,この中から異なる2つの自然数を選び, その積を計算する.このようにしてできる積の総和S" を求めよ. 第1章 [考え方 たとえば、3つの数a, b, c で考えてみると, T=ab+bc+ca が求める積の総和である。 右の表より. a bc 1 2 3 n a 1 2 3n b 2 2 6. 2n (a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca) =d+b+c+2T C 3 3 6 ...3n つまり、T=1/2(a+b+c)-(a+b+c)}となる。 nn 2n3n... wwww www 解答 この考え方を1, 2, 3, .......,nについて用いる. S„= (1×2+1×3+......+1×n) + (2×3+2×4+ ......+2×n) +....+(n-1)×n (上の表の部分の和になって 3つの数a, b, c の場合と同様に考えると, ( 1+2+3+ ...... +n)=(12+2+3+......+n) +2S であることがわかる. (1+2+3+... +n)=(12+2+3+... +m²)+2S より S=1/12 {(1+2+3+…+m)-(1°+2°+3°+…+m)} 考え方を参照 n(n+1) 1)n(n+1)(2n+1) 1 24 2n(n+1){3n(n+1)-2(2n+1)} 1 (n-1)n(n+1)(3n+2) 24 1 12' 1zn(n+1) で くくる. 注〉 自然数 1, 2, n に関して,この中の自然数んとその他の自然数との積の和は, k(1+2+......+n)k と表せる. これを用いると,2×S,=Σ{k(1+2++nk} となる. 注 P=(x+1)(x+2) (x+......(x+n) の展開式は このとき x" の係数は1, 次式となる. "の係数は1+2+ ...... +n=- 1/2m(n+1) となる. では,x" -2の係数はどのようにして求めればよいだろうか. Pを展開する際に, (x+1), (x+2) (x+3), ...... (x+n) のn個の ( 2個の )から数字を, 残り (n-2) 個の ( -2の項を作ることができる. )について, )からxを選んで積を求めれば, したがって,x" -2の係数の総和は、例題 B1.26 と同様に考えればよい. つまり、x-2の係数は 1 24 (n-1)n(n+1)(3n+2) となる. 東習 数列 1, 3, 5, 2n-1 について この中から異なる2項を選び、その積を 1.26 計算する。 このようにしてできる積の総和 S, を求めよ. 2* **

この問題なんですが、一枚目の解答と、二枚目の解説動画の解答とで少し形がちがうのですが、どちらで答えたほうがいいのでしょうか？あと、一枚目の解答の最後の「よって、」からがなぜそうなるのかが分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

31-40 (58) 第1章 数 列 Think 例題 B1.27 いろいろな数列の和 (2) 考え方 解答 S,=1-2'+3°-4'++ (−1)"'n を求めよ. **** S, は数列 an=(-1)"+2の初項から第n項までの和であるが, nが偶数か奇数から その和を分けて考える必要がある. nが偶数, つまり,n=2mmは自然数) のとき. wwwwwwwwww S2m=12-2°+3°-4++ (2m-1)-(2m) =(12-2)+(32-4)+. +{(2m-1)-(2m) } nが奇数、つまり、n=2m+1のとき 第2 第1項 S2m+1=12-2°+32-4’++ (2m-1)-(2m)+(2m+1) 第 (2m+1)項 =(1-2)+(32-4°)+....+{(2m-1)-(2m)*}+(2m+1) 第項 nが偶数のとき, n=2mmは自然数) とおくと, S=S2m=(12−2°)+(3-4)+..+{(2m-1)-(2m) } =Z{(2k-1)-(2k)*}=2(-4k+1) k=1 1 n=2, 4, 6. 数列 ((2m-1)-(2m) の初項から第m での和と考える。 =-4zm(m+1)+m=-m(2m+1) n=2m より,m= =nを①に代入して S=-- =-1/2m(n+1) -12(n+1) 和はで表す. nが奇数のとき, n=2m+1(mは自然数) とおくと, ちの方 m 〇りやよい m S=S2m+1= (12−22) + (3-4) +・・ +{(2m+1)-(2m)2}+(2m+1)^ =Szm+(2m+1)=-m(2m+1)+(2m+1) (m+1)(2m+1) =/ ③ n=2m+1 より, m = (n-1) を③に代入して S.=(2x+1/2)(n-1+1)=1/2m(n+1)……③ ④は n=1のときも成り立つ よって,②④より Focus S=(-1)+1 1/21n(n+1) が偶数の場合と奇数の場合に分けて考える S2m+1=S2m+a2m+1 n=3, 5, 7, ...... n=1 とすると, 12/21.2=1 場合分けした② ① の形のままでもよい。 練習 一般項 an=(-1)n(n+1) で定められる数列の和 B1.27 S„=a1+a2+α+......+α を求めよ. ***

数B 数列 【いろいろな数列】 問.nを自然数とする。次の和を求めよ。 画像(1枚目)にある数列を教えて頂きたいです！ 解答にある+6がなぜ+6になるのかが 分かりません。何回解いても答えが出ませんでした… 教えて頂けると助かります。 よろしくお願いします🙇‍♀️

95 n を自然数とする。 次の和を求めよ。 n (1) (k²+2k+2k-1) k=1

2枚目の真ん中の式の/の後の式がどうして-3n+6になるのかが分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

2 いろいろな数列 (49) tink 例題 B1.21 階差数列(2) **** 数列 2, 5, 14, 35, 74, 137,230, ...... の一般項 α を求めよ. え方 例題 B1.20 のように階差をとっても規則性がつかめない そこで、2回目の階差をとっ てみる. {am} 2, 5, 14, 35, 74, 137, 230, {bm} 3. 9. 21, 39, 63, 93, {cm} 6, 12, 18, 24, 30, 与えられた数列{a} の階差数列を {b,} とし, 数列{bm} の階差数列を {cm} とする. {an} : 2, 5, 14, 35, 74. 137. {bm}: 3, 9, 21, 39, 63. {cm}: 6. 12, 18, 24. となり, cn=6n から, 第k項は, したがって, n≧2 のとき, Ck = 6k n-1 -1 b=b+ck=36k まず,{6}の k=1 k=1 =3+6.12(n-1)n=3m-3n+3 b" を求める. この式は, n=1のとき, b=3・13・1+3=3 となり b=3だから, n=1のときも成り立つ。 n=1のとき クをする. また、数列{bm} は数列{a} の階差数列より, n≧2 のとき, n-1 n-1 an=a+b=2+Σ(3k-3k+3) k=1 k=1 =2+3.12 (n-1)n(n-1)-3.12 (n-1)n+3(n-1) =2+1/2 (n-1){z(2n-1)/3n+6} 上で求めた 用して an =2+1/2 (n-1)(2㎡-4n+6)=㎥-3°+5m-1 この式は n=1のとき, a=1-3・1°+5・1-1=2 とな り,a=2だから, n=1のときも成り立つ. n=1の ックをす よって, an=n-3n²+5n-1 cus 階差を1回とっても規則がつかめない場合,2回目の階差を 28 GA 101 151 ・の一般項 αm を求めよ

黄色の丸がついているところに2をつける理由を教えてください。

5 第2節 いろいろな数列 33 第1章 応用 正の偶数の列を,次のような群に分ける。ただし,第n群にはn 例題 5個の数が入るものとする。 2|46|8,10,12 第1群第2群 第3群 14,16,18,20 | 22, 第4群 (1) 第n群の最初の数をnの式で表せ。 (2)第10群に入るすべての数の和Sを求めよ。 考え方 (1) 第1群から第 (n-1) 群までに入る数の個数を考える。 (2) 等差数列の和として求める。 第10群の最初の数は,(1)を利用し て求める。 II 10 数 数列 解答(1)≧2 のとき, 第1群から第 (n-1) 群までに入る数の個数は 1+2+3+…+(n-1)=1/21n(n-1) 求める数は、偶数の列の第 1/12n(n-1)+1}項であるから PEI 2{12n(n-1)+1}=n-n+2 偶数の列の第項 2 これはn=1のときにも成り立つ。 よって, 第n群の最初の数は n2-n+2 (2) 第10群の最初の数は,(1)の結果を用いて 102-10+2=92 よって, 和Sは, 初項 92, 公差 2 項数10 の等差数列の和で (S) あるから S= =1・10{2・92+(10-1)・2}= 1010 2 練習正の奇数の列を. 次のような群に分ける。 ただし, 第n群にはn個の 35 数が入るものとする。

(1)の部分分数分解の仕方が分かりません。だれかに分かりやすく教えて頂きたいです。

例題 39 nを自然数とするとき, 次の和を求めよ。 いろいろな数列の和 [(1) 類 北海道情報大, (2) 東京電機大 ] 考え方 b (1) Ž k=1 (2k+1)(2k+3) いろいろな工夫によって, 和を求める (2)1・1+2・2+3・2+......+n・27-1 ポイント 1 部分分数に分ける → (1) 和を書き並べる ② 途中を消す 1 1 1 1 (2n+3)-3 2 3 2n+3 1 =S とおく → = 3(2n+3) 2 (2) 求める和をSとすると S=1・1+2・2+3・2+......+n・2"-1 n 3(2n+3) (1) 分数の数列の和は,部分分数に分けて途中を消すことで, 和を求められる場合がある。 1 1 第k項を 1 2k+3 22k+1 (2k+1)(2k+3) と部分分数に分解する。 -2 (2){ (差) (等比)}型の数列の和Sは, S-rs (rは等比数列の公比) を計算することで和を求められる。 等差数列 ak=k と等比数列 bk=21 の積の和 k2k-1 であるから, S-2S を計算する。 解答 n k=1(2k+1)(2k+3) {( k=1 = { ²² (2²+1 — 2²+3)} = = = =² (2k +1 k=1 2 /1/11(1/13-1/2)+(1/3/1/1)+(1/1) 5 157 9 1 + + k=12k+1 2n+g)} 2n+1 2k+3 両辺にを掛ける → この両辺に2を掛けると ② S-rs を計算 等比数列の和 よって-S=- 27-S-1-(2-1) 2S= 1·2+2·2²+......+(n−1)• 2n−1 + n•2” 辺々を引くと S-2S=1+2+2+... +2"-1-n・2" S (1) S (S) -n2"= (1-n)・2"-1 2-1 したがって S=(n-1)・2"+1 答