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基本 例題 56 対偶を利用した証明(1)
整数nの平方が3の倍数ならば, nは3の倍数であることを証明せよ。
指針nが3の倍数→nが3の倍数 を直接証明するのは, 「n² が3の倍数」 が扱いにくいの
で面倒である。そこで, 対偶を利用した (間接)証明 を考える。
対偶を考えるとき, 「nが3の倍数でない」ということを,どのような式で表すかがポイン
n=3k+2[3で割った余りが2]
トとなるが, これは次のように表す (検討 参照)。
n=3k+1[3で割った余りが1],
なお、命題を証明するのに, 仮定から出発して順に正しい推論を進め、結論を導く証明
解答
CENER
与えられた命題の対偶は
「nが3の倍数でないならば, n2は3の倍数でない」
である。
nが3の倍数でないとき, kを整数として,
n=3k+1またはn=3k+2
を直接証明法という。 これに対して, 背理法や対偶を利用する証明のように, 仮定から
間接的に結論を導く証明法を間接証明法 という。
と表される。
[1] n=3k+1のとき
n²=(3k+1)=9k²+6k+1
=3(3k²+2k)+1
3k²+2k は整数であるから n²は3の倍数ではない。
[2] n=3k+2のとき
基本55
.........
n²=(3k+2)^=9k²+12k +4
=3(3k²+4k+1)+1 (
3k²+4k+1は整数であるから n²は3の倍数ではない。
[1], [2] により, 対偶が真である。
したがって、与えられた命題も真である。
① 直接がだめなら間接で
対偶の利用
(p.99 の検討も参照。)
2
13× (整数)+1の形の数は
3で割った余りが1の数
3の倍数ではない。
