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12 2変数関数/等式の条件が2次式の場合
(ア) 実数x,yがx'+y2 =1をみたすとき,r'+4yは(x,y)=(,
をとり、(x,y)=(¯□¯)のとき最小値
|をとる.
■ のとき最大値
(東海大理工)
(イ) 実数x,yがx-2xy+2y2=8を満たすとき, x+yの最大値と最小値を求めよ。
(名古屋学院大, 一部省略)
「等式の条件が2次の場合 (ア)の場合,1-y2としてェを消去すれば前問と同様に解ける.こ
実をもつまらな
こでの範囲に制限がないから, yに反映させる条件はない, とすると大間違いである。 例えばy=2
とすると, z=-3となるがこれを満たす実数æは存在しない!
つまり,ェが実数であるための条件220 を」に反映させる必要がある. (z が実数で存在する条件)
実数が一方, (イ)の場合、無理に1文字を消去して』をyで表せば,r=y±√8-y2というやっかいなもの
が登場してしまう。こんなときは,次の手法が威力を発揮する. (「大学への数学」では“逆手流” と呼
んでいる)
すま
の地で
さかて
f(x, y) =0のとき,g(x,y)の取り得る値の範囲 I を求めるとする. ある値kについて,
kがIの範囲に入る⇔ 「f(x, y) =0かつg (x, y) = k を満たす実数x, y が存在する」
本間の場合, f (x,y)=x²-2xy+2y2-8, g(x,y)=x+yであり,「」 から得られる kの条件
(範囲) がIになるわけである.なお, 逆手流については、詳しくは p.66.
解答
存在条件に
(ア)存在条件(イ)有
Dしかない 次へ 実
(ア) '+y2=1により, r=1-y2
x 2 0 であるから, 1-y2≧0
.. -1≤y≤1
このとき,'+4y=(1-y2)+4y=-(y-2)2+5
よって, y=1 (このときx=0) のとき最大値 4
y=-1 (このときょ=0) のとき最小値 4
(イ) x+yがんという実数値を取り得る.
⇔rty=kかつ2ry+2y2=8 を満たす実数x, y が存在する。
⇔-2ェ (k-x)+2(k-x)=8① (y=k-π･････ ②)
を満たす実数x が存在する.
ここで, ①を整理すると,
52-6kr+2k2-8=0
ェの実数条件. な
お,r'+y2=1は
右図の単位円を
表すことからも
-1≦y≦1 が分かる.
1
〒1
並ん
[②
②を使ってyを消去. なお,エが
実数なら②からが実数である
から, が言える.
これを満たす実数x が存在するための条件は,上式を2次方程式と見たと 少なくとも1つ実数解を持たな
きの判別式をDとすると, D≧0であるから,
D/4=(3k)2-5(2k2-80 .. k²≤40
ければならない. その条件は
D.20.
..-2/10 ≦k≦2/10
よって、xtyの最大値は2/10 最小値は2/10 である。
D
12 演習題(解答はp.59)
(ア),yが2+2y2=1 をみたすとき, 2x+3y2の最大値は [
である.
]で,最小値は
(明海大
歯)
(イ) (1) 実数x、yがェーry+y"-y-1=0 をみたすとき, yの最大値は
最小値は である.
で.
(愛知工大)
(2) 実数ェリがェー2x+y=1を満たすとき,rtyの最大値は [
最小値は
(ア) 実数条件を忘れな
いように.
( 広島工大)
(イ) 逆手流を使う.
である.
解答のかき方応
45
逆手流の逆像法
みる
の
大阪
