62
例題 6.2
双曲線H:
1に点 (21) から引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ.
同様に, B=√3 のとき, ② よりα=2.
これを①に代入して、求める接線の方程式は、
そのときの接点の座標は,
x-y=1
【解答】
<別解>
P(4, 3)
直線x=2は求める接線 (のひとつ) であり,このとき接点の座標は (2,0).
点 2 1 を通る直線で, x=2以外のものは
とおける.
√√√3
(i) k=±
傾き
…①
63
Cs
(ii) k±2
一のとき,①は耳の漸近線に平行になるので接線になることはない。
のとき、 ①がHに接するための条件は、 ①をHの方程式に代入して得られる方程
式
H上の点P (2α,3β) における接線の方程式は,
3x²-4{k(x-2)+1}^2=12,
・なぜP
yxfy=1
...1
すなわち,
ではなくこうおくのか②
・接線
これが (21) を通るので,
が重解をもつことなので, ②の判別式をDとおくと
(3-4k²)x2+(16k-8k)x-16k+16k-160
B
α-
·=1
・・・②
D
=0
4
また,PはH上の点なので,
'-β2=1
...③
②より, α=1+- となるから,これを③に代入して
B=0 のとき, ②よりα=1.
-β'=1
-(+1)
B(B-√3)=0
B=0,√3
これを①に代入して, 求める接線の方程式は,
x=2
そのときの接点の座標は,
P(2,0)
(8k2-4k)-(3-4k²)(-16k²+16k-16)=0
k2(2k-1)^+(3-4k^) (k-k+1)=0
3k-3=0
k=1
これを①に代入して, 接線の方程式は,
y=x-1
また、このとき②は(x-4)=0となるので, 重解x=4をもつ
よって、 接点の座標は,
(4, 3)
