00
その
基本的
った
た
重要
例題
122 2変数関数の最大・最小 (4)
実数x,yx+y2=2を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。
指針
[類 南山大 ]
条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x+y=2から文
字を減らしても, 2x+yはx, yについての1次式であるからうま
くいかない。
そこで, 2x+y=tとおき, tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
2x+y=t を y=t-2x と変形し, x2+y2=2に代入してyを消
去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
t
は実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつD≧0 の利用。
基本 101
見方をかっ
CHART 最大 最小 =t とおいて, 実数解をもつ条件利用
2x+y=t とおくと y=t-2x
解答 これをx2+y2=2に代入すると
整理すると
x2+(t-2x)2=2
5.x²-4tx+t2-2=0
(2)
このxについての2次方程式 ②が実数解をもつための
条件は、②の判別式をDとすると
D≧0
ここで
D=(-2t)-5(-2)=(f-10)
D≧0 から
t2-10≤0
これを解いて -√10 ≤t≤√10
t=±√10 のとき, D=0 で, ②は重解 x=--
203
参考 実数a, b, x, yに
ついて,次の不等式が成り
立つ (コーシー・シュワル
ツの不等式)。
(ax+by)(a+b²)(x²+ y²)
[等号成立は ay=bx]
この不等式にα=2,6=1
を代入することで解くこと
もできる。
-4t
2t
を
のとき②は
t=±√10
2.5
もつ。t=±√10 のとき
2√10
x=±
5
5x2410x+8=0
よって
(√5x2√2)=0
①から
y=±
√10
(複号同順)
ゆえに
5
よって
210
(10
x=
y=
のとき最大値 10
2/10
==±
/5
5
/10
5
① から y=±- 5
2,10
√10
x=-
y=-
のとき最小値10
(複号同順)
としてもよい。
