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4 双曲線(I)
(i) のとy=ェとの交点は
13
ら、
双曲線 C:ーy=1 について,次の問いに答えよ。
(1) Cの焦点の座標と漸近線の方程式式を求め,グラフをかけ.○。
pI-qy=1
より
リ=エ
エ=リ=
p-4
(p-qキ0 より)
1
(i) のとy=ーェとの交点は
Rとするとき,Q, R の座標をp,qで表せ、○○0
| pr-qy=1
より
けで
=ーエ
エ=
(p+q=0 より)
p+q
リ=
1んても
p+q'
ゆえに,Q, R は
定であることを示せ。
ド
p-q'
p-q
ptq
p+q
p-qキ0, p+qキ0 は, P(か、q)が漸近線上にないことからでてく
る性質です。
注
) S-o-prto-io-o
精講
3、
2|(p
(p-q)(p+q)
4ポイント
のようになります。
=1(一定)(がーg=1 より)
双曲線 ー=1 (a>0, b>0)上の点P(p, q) における接線と2本
2? y?
a?
の漸近線の交点をQ, Rとすると,△0QR の面積はPの座標によらず一
ポイント
AOABの面積をSとすると
A(エ,)
定で,その値は ab になる。
S=OAPIOBP-(OA-0B)
2
特に,A(z, y), B(z2, y2) のとき
B(エ、9)
この基礎問ができた人は,上のことを証明してみましょう.手順は全く同様
です。また,演習問題 4にあるように,PはQR の中点になることも知られて
S=uC
います。
しかし,こういうことを丸覚えしても意味はありません.誘導にしたがって
1段ずつ階段を昇っていけばよいのです。その際,ハードルになるとすれば(3)
で,「どの面積公式を使えばよいのか?」というところでしょう.頂点の1つが
原点というところがヒントになります。
注
数学II.B161
参照。
解答
演習問題4
(1) 座標平面上の点P(z, y) と F(0, (5)との距離が,Pと直
(1) 焦点は(土2,0)
リ= との距離の
2
15
倍に等しいとき、Pの軌跡は双曲編
、リ=ー 19 Y=£,
4
漸近線は
エ土y=0
すなわち y=土x
(2)(1)の双曲線上の任意の点P(p, q) における接線と,漸近綱
交点をQ, Rとするとき,Pは線分 QR の中点であること
なることを示せ。
よって,グラフは右図。
(2) P(p, q)における接線は
pェ-qy=1
