基本(例題 131 領域を利用した証明法
x,
は実数とする。
(1)x2+y2+2x<3ならばx2+y2-2x<15であることを証明せよ。
(2)x2+y^≦5 が 2x+y≧kの十分条件となる定数kの値の範囲を求めよ。
解答
p.194 基本事項 2
(1)与えられた命題は,式の変形だけでは証明しにくい。このようなときは,
領域を利用した証明法が有効。
この命題の仮定と結論 gの不等式を満たす点(x, y) 全体の集合を、それぞれ
P={(x, y)|x2+y'+2x<3}, Q={(x, y)|x2+y^-2x<15}
とすると「pg が真である」⇔PCQ であるから,P,Qを図示することによ
りらくに証明できる。
(2) 「bgが真である」「はαの十分条件」PCQ
したがって、ここでは,{(x, y)|x2+y^≦5}{(x,y)|2x+yk} となるようなkの
値の範囲を、図をかいて求めればよい。
CHART xyの不等式の証明 領域の包含関係利用も有効
(1)x2+y2+2x<3⇔ (x+1)2+y^<22
x2+y²-2x<15⇔(x-1)'+y^<42
P={(x, y)|(x+1)²+y²<2²},
Q={(x, y)|(x-1)^+y2<42}
とすると,図から,PCQが成り
立つ。
よって, x2+y2+2x<3ならば
P
209
<Pは
円 (x+1)2+y2=22
-3
5 x
の内部,
Qは
円(x-1)+y2=42
の内部。
x2+y²-2x<15が成り立つ。
(2) P={(x,y)|x2+y2≦5},
Q={(x, y)|2x+yk} とすると
x2+y^≦5⇒2x+y≧k が成り立つ
ための条件は
PCQ
k < 0 かつ
ゆえに
よって,図から
12-0+0-k√5
√√22+12
|-k|≧(√5)2
よって
k≤-5, 5≤k
k<0 との共通範囲をとって
k≤-5
12x+y=k
⇔y=-2x+k
傾きが-2, y切片
15
x
直線。
-√5
√5
(円の中心 (0,0)と
-5
直線の距離)
(円の半径 )
|-k|=|k|である
から k5
