数Aの整数問題なのですが（2）でこのような場合分けをしているのは何故でしょうか...？教えて頂きたいです。

総合を2以上の自然数とする。 24 (1) nが素数または4のとき, (n-1)! はnで割り切れないことを示せ。 (2)nが素数でなくかつ4でもないとき,(n-1)! はnで割り切れることを示せ。 [ 東京工大 ] 本冊数学 Ap.523, 例題 116

7がわかりません。解き方を教えてください

* 7 ** (2) 積が 720,最大公約数が6であるような2つの自然数a, b をすべて求め よ. ただし, a <b とする. の形になれば、 8 4桁の自然数の各位の数をそれぞれ,右のよう 千百十 に, a, b, c, dとして考える。 a b d このとき、次の問いに答えよ. Ce (1)a=4,6=5, d=4 の4桁の自然数が8の倍数であるとき, cの値を すべて求めよ. 1000円 (2)=4,c=3の4桁の自然数が36の倍数であるとき, a, dを満たす es2.4 値の組をすべて求めよ. ・・・・ n=144,324 81- 1 3 5 n=154 PANIA (S) 解答編 p.403 2 291は合成数323は合成数,379 は素数の 0 130 360=2°×32×5,756=22×3×7, 最大公約数 36,最小公倍数 7560 6 (1) 1500=22×3×5° 約数の個数 24個 (2) 12個 4 21 7 (a, b)=(6, 120), (24, 30) (8 (1) c=0, 4, 18 (2) (a, d)=(9, 2), (5, 6)

323について、合成数であるか、素数であるかを調べたいのですが、どのようにしたらいいのですか？ 教えてください。 よろしくお願いしますm(_ _)m

数学　整数の性質 下の写真の問題（1）についてです 解答に、「この不等式と89が素数であることより、」とあるのですが（赤マーカー部分）、 素数でなかったらどうなるんですか？解けないんですか？

_整数の性質 ~不定方程式の整数解~ (1) 到達問題の解説 11_1 n m (2) 整数a,bが2a+36=42 を満たすとき, ab の最大値は[ア ･かつmon を満たす自然数m,n を求めよ。 89 到達問題の (1) もアプローチ問題と同様に、 不定方程式の整数解を 求める問題だ。 (2) は積の最大値が問われているが､まず不定方程式 の解を求める必要がある。 「アプローチ問題」 で学んだ解法 STEP を 踏まえながら考えていこう。 →到達問題をもう一度見てみよう ← 1 方程式を整数の積の形に変形し、約数・倍数に注目 する (1) の方程式 1 1 1 m n 89 全く違って見えるが,積の形が目標であるから, まず分母を払って みよう。 両辺に89mn をかけて整理すると mn-89m-89n=0 となり、アプローチ問題 (1) と同タイプであることがわかる あと は積の形を目標に変形していけばよい。 (2) はアプローチ問題 (2) と同様に,具体的な整数解の1つを求めて 変形してもよいが, 42が3の倍数であるため, 36を移項し3でくくり 2a=3(14-b) G とする方が手間がかからない。 結果的にこれは、 具体的な整数解の1つ (a,b)=(0.14) を用いた変形となっている 【解答】 (1) m は,アプローチ問題 (1) の方程式とは 2 不等式により範囲を絞り, 考察対象を減らす (1) は, 方程式を積の形に直した後、mとnが自然数すなわち正の整 数であることと不等式 < n を利用すれば積の組合せを絞ることが できる。 1 1 = 12 89 り mn-89m-89n=0 m(n–89)–89n=0 m(n-89)-89(n-89+89)=0 (m-89)(n-89)=892 + である。 到達問題の解答 ('10 早稲田大・商) 具体的な整数解の1つとして (a,b)=(6.10) を用いると 2(a-6)=3(10-b) gum となる。 1 方程式を整数の積の形に変 形し、約数・倍数に注目する H 89 は素数なので、この式を満たす 8989の組合せのすべては、 (1, 892), (89, 89), (89², 1 (-1, -89), (-89, -89) (-89², -1) である。 「m, nはくを満たすぎ という条件から1個に絞ら ておこう。 難関大) 入試 (2) 入試 m,nはm<nを満たす自然数であるから, -89<m-89<n-89 この不等式と89 が素数であることより, (m-89, n-89)=(1, 89²) よって, m=90, n=8010 ...... 2a+36=42 変形して (答) 2a3(14-b) ..... ① 2と3は互いに素であるから αは3の倍数である。 よって, 整数kを用いて α=3k とおくことができ, このとき ①より, 2.3k=3(14-b) すなわち b=-2k+14 したがって, ab=3k(-2k+14) =-6k2+42k =-6(x-7)² + ¹47 んは整数であるから, abが最大になるのはk=3,4のとき であり、求める最大値は, ワンランク UP 演習 取り組んでみて、難しかったら、 講義に戻って考えよう。 -6.3°+42・3=72 ······ (答) 1 (1) pを素数とする。 x,yに関する方程式 + I = y P 2 不等式により範囲を絞り, 考察対象を減らす 2次関数の最大 最小は平方完成し て考える。 kは整数であり、2/7/27 とは! abt 72 60 1 方程式を整数の積の形に変 形し、約数・倍数に注目する ならないことに注意して、 前後の整! 数3,4について調べる。 1 は整数なので, ab は下の図のよう! にとびとびの値をとる。 O を満たす正の整数の組(x,y) をすべて求めよ。 ('09 お茶の水女子大理) (2) 7で割ると2余り, 11で割ると3余るような300 以下の自然数をすべて求めよ。 ('11 山形大工) Q 入試につながるヒント7で割ると2余る数と 11 で割ると余る数は、 整数を用いてどのように表されるだろうか。 UPの得点 /20点 別冊p.12の解答・解説で答え合わせをしよう! 29

写真の質問に答えてください。

516 18 約数と倍数,最大公約数と最小公倍数 CATE 基本事項 1 約数 倍数 き,bはaの 約数 であるといい, αは6の倍数であるという。 ② 倍数の判定法 2の倍数 5の倍数 3の倍数 ③ 素数と素因数分解 2つの整数α, bについて, ある整数kを用いて, a=bk と表されると 一の位が偶数 ( 0 2, 4, 6, 8 のいずれか) 一の位が05 のいずれか 4の倍数 9の倍数 各位の数の和が3の倍数 下2桁が4の倍数 各位の数の和が9の倍数 ① 2 以上の自然数のうち, 1とそれ自身以外に正の約数をもたない数を素数とい い,素数でない数を合成数という。 1は素数でも合成数でもない。 ② 整数がいくつかの整数の積で表されるとき,積を作る1つ1つの整数を,もとの 整数の 因数 という。素数である因数を素因数といい, 自然数を素数だけの積の 形に表すことを素因数分解 するという。 4 約数の個数, 総和 自然数 N を素因数分解した結果がN=pager…………. であるとき, Nの正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)...... ←基本例題 8 参照。 総和は (1+p+...+pª)(1+q+···+q°)(1+r+...+rº) ...... 解説 ■ 約数, 倍数 a=bk のときa=(-6) (-k) であるから, bがαの約数ならばーも αの約数である。 また, すべての整数は0の約数であり, 0 はすべて の整数の倍数である。 なお, 0 がある整数の約数となることはない。 ■倍数の判定法 [4の倍数の判定] 正の整数Nの下2桁をaとすると, 負でないある整 数kを用いて, N=100k+α=4・25k+α と表される。 よって、Nが4の倍数であるのは, αが4の倍数のときである。 [3の倍数 9の倍数の判定] 例えば, 3桁の正の整数Nを N = 100α+106+cとすると, N=(99+1)a+(9+1)6+c=9(11a+b)+(a+b+c) であるから, a+b+cが3の倍数であればNは3の倍数であり, a+b+cが9の倍 数であればNは9の倍数である。 4桁以上の場合についても同様。 ■素因数分解の一意性 合成数は, 1 とそれ自身以外の正の約数を用いて, いくつかの自然数 の積で表すことができる。 それらの自然数の中に合成数があれば,そ の合成数はまたいくつかの自然数の積に表すことができる。 このような操作を続けていくと,もとの合成数は, 素数だけの積にな る。 よって, 合成数は、 必ず素因数分解でき 注意 以後,約数や倍 整数の範囲 ( 0 や 数は, 負の数も含む) で考え る。 <0は0=60 と表さ れるから 60 の 約数であり, 06 の倍数である。 4の倍数の判定法は、 「下2桁が4の倍数 または 00」と示され ることもある。 本書 では, 00の表す数は 0 であるとみなして 4の倍数の中に含め ている。 例えば,210=6・35 と表すことができる が6=2・3.35=5･7 から 2102･3･5･7 to 110 約数と倍数 00000 aとbがともに3の倍数ならば, 7a4bも3の倍数であることを証明せよ。 は0でない整数とする。 P.516 基本事項 がともに整数であるようなαをすべて求めよ。 40 aが6の倍数で,かつbがαの倍数であるとき, αを6で表せ。 ■ 「αがもの倍数である」ことは, 「bがαの約数である」 ことと同じであり,このとき,整数kを用いて a=bk と表される。このことを利用して解いていく。 (2) αは5の倍数で,かつ40の約数でもある。 bが3の倍数であるから, 整数k, lを用いて a=3k, b=3l と表される。 a=bk Laは6の倍数 7a-46=7・3k-4・31=3(7k-4L) よって 7k-4lは整数であるから, 7a-46は3の倍数である。 (②2) 1/3が整数であるから,αは5の倍数である。 ゆえに,kを整数としてα=5kと表される。 よって 40 40 8 a 5k k 40 が整数となるのは, kが8の約数のときであるから a k=±1, ±2, ±4, ±8 したがって a=±5, ±10, ±20, ±40 と表される。 (3) αが6の倍数, bがαの倍数であるから 整数 k lを 用いて a=bk, b=al a=bk を b=al に代入し, 変形すると 60 であるから kl=1 k, lは整数であるから k=l=±1 したがって a =±b bαの数 b(kl-1)=0 整数の和差積は整数 である。 a=5k を代入。 517 負の約数も考える。 α=5kにの値を代入。 を消去する。 <k.lはともに1の約数で 110 (ア) a,bがともに4の倍数ならば、' +62は8の倍数である。 の倍数で 断ならば、cdはabの約数である。 (1) 次のことを証明せよ。 ただし, a,b,c,d は整数とする。 4 章 倍数の表し方に注意! だったら a=tbl= 数であるから, のように別の文字 (k, lなど) を用いて表さなければなっない 上の解答ので, lを用いずに, 例えば (1) で α=3k, b=2のように書いてはダメ! これではα=6となり, この場合しか証明したことにな なるのですか? 1989 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数 と書く f 2432115) 214-191

108.2 記述に問題ないですか？ また、解答はなぜ0<p<q<rと書いているのですか？ 素数の中で最小は2なので2≦pと言えないですか？ （なので自身の記述では2≦p<q<rと書いています。）

474 00000 基本例題108 素数の問題 (1) nは自然数とする。 n2+2n- 24 が素数となるようなn をすべて求めよ。 練習 3 108 [(2)類 同志社大] (2) ,g,rp <g <r である素数とする。 等式r=g² -p を満たすか, 4,rの 組 (p,q,r) をすべて求めよ。 素数の正の約数は1とか 自分自身) だけである このことが問題解決のカギとなる。 なお, 素数は2以上 (すなわち正) の整数である。 これが素数となるには, n +6>0と!より,-4, (1) n²+2n−24=(n-4)(n+6) n+6のどちらかが1となる必要がある。 ここで,n-4とn+6の大小関係に注目する と、おのずとn-4=1に決まる。 (2)等式を変形すると (g+p) (g-p=r p>g-p>0,r は素数であることに注 目すると g-p=1 ここで,g, p はその差が奇数となるから, 一方が奇数で,他方が偶数である。 ここで, 「偶数の素数は2だけ である」という性質を利用すると、かの値が2に決まる。 CHART 素数 正の約数は1とその数だけ 偶数の素数は2だけ 指針 解答 (1) n²+2n−24=(n-4)(n+6) nは自然数であるから n +6>0 n²+2n−24が素数であるとき, ① から n-4=1 ゆえに n=5 よって このとき n²+2n−24=(5-4)(5+6)=11 これは素数であるから, 適する。 したがって n=5 (2) r=q²-p²t²5 (q+p)(q-p)=r 0 <p <g <rであるから 0 <g-p <g+p ①が素数であるから, ② より gtp=r, g-p=1 g-p=1 (奇数)であるから, g, かは偶奇が異なる。 更に, p<g であるからp=2 よってg=3 ゆえに r=3+2=5 したがって (p, q, r)=(2, 3, 5) POINT ① また n-4<n+6 n-4>0 2005 ·· (*) H 5+2=3 奇 偶偶 = まず, 因数分解。 (*) n-4=1が満たされて もn+6=(合成数)となって しまっては不適となる。 その ため。n²+2n−24 が素数と なることを確認している [n+6=5+6=11 (素数) の 確認だけでも十分である ] 。 素数は2以上の整数。 g, かのどちらか一方は 2 となる。 2 整数の和(または差)が偶数2整数の偶奇は一致する 2 整数の和 (または差)が奇数2整数の偶合は異なる (1)は自然数とする。 次の式の値が素数となるようなをすべて求めよ (ア) n²+6n-27

108.2 記述に問題ないですか？ また、解答はなぜ0<p<q<rと書いているのですか？ 素数の中で最小は2なので2≦pと言えないですか？ （なので自身の記述では2≦p<q<rと書いています。）

474 00000 基本例題108 素数の問題 (1) nは自然数とする。 n2+2n- 24 が素数となるようなn をすべて求めよ。 練習 3 108 [(2)類 同志社大] (2) ,g,rp <g <r である素数とする。 等式r=g² -p を満たすか, 4,rの 組 (p,q,r) をすべて求めよ。 素数の正の約数は1とか 自分自身) だけである このことが問題解決のカギとなる。 なお, 素数は2以上 (すなわち正) の整数である。 これが素数となるには, n +6>0と!より,-4, (1) n²+2n−24=(n-4)(n+6) n+6のどちらかが1となる必要がある。 ここで,n-4とn+6の大小関係に注目する と、おのずとn-4=1に決まる。 (2)等式を変形すると (g+p) (g-p=r p>g-p>0,r は素数であることに注 目すると g-p=1 ここで,g, p はその差が奇数となるから, 一方が奇数で,他方が偶数である。 ここで, 「偶数の素数は2だけ である」という性質を利用すると、かの値が2に決まる。 CHART 素数 正の約数は1とその数だけ 偶数の素数は2だけ 指針 解答 (1) n²+2n−24=(n-4)(n+6) nは自然数であるから n +6>0 n²+2n−24が素数であるとき, ① から n-4=1 ゆえに n=5 よって このとき n²+2n−24=(5-4)(5+6)=11 これは素数であるから, 適する。 したがって n=5 (2) r=q²-p²t²5 (q+p)(q-p)=r 0 <p <g <rであるから 0 <g-p <g+p ①が素数であるから, ② より gtp=r, g-p=1 g-p=1 (奇数)であるから, g, かは偶奇が異なる。 更に, p<g であるからp=2 よってg=3 ゆえに r=3+2=5 したがって (p, q, r)=(2, 3, 5) POINT ① また n-4<n+6 n-4>0 2005 ·· (*) H 5+2=3 奇 偶偶 = まず, 因数分解。 (*) n-4=1が満たされて もn+6=(合成数)となって しまっては不適となる。 その ため。n²+2n−24 が素数と なることを確認している [n+6=5+6=11 (素数) の 確認だけでも十分である ] 。 素数は2以上の整数。 g, かのどちらか一方は 2 となる。 2 整数の和(または差)が偶数2整数の偶奇は一致する 2 整数の和 (または差)が奇数2整数の偶合は異なる (1)は自然数とする。 次の式の値が素数となるようなをすべて求めよ (ア) n²+6n-27

108.1 記述これでも大丈夫ですか？？

Ad 474 00000 基本例題108 素数の問題 (2) , g, rp <g <r である素数とする。 等式r = g² -p を満たすか,q, r (1) nは自然数とする。n²+2n−24 が素数となるようなnをすべて求めよ。 [(2)類 同志社大) 組 (p, g, r) をすべて求めよ。 自分自身) だけである 指針▷ 素数の正の約数は 1 このことが問題解決のカギとなる。 なお,素数は2以上 (すなわち正)の整数である。 (1) n²+2n−24=(n-4)(n+6) これが素数となるには,n+6>0と より,カー4) n+6のどちらかが1となる必要がある。 ここで,n-4とn+6の大小関係に注目する と, おのずとn-4=1に決まる。 奇偶= 目すると g-p=1 (2)等式を変形すると (g+p) (g-p=r g+p>g-p>0,r は素数であることに注 ここで, g, p はその差が奇数となるから, 一方が奇数で,他方が偶数である。 ここで, 「偶数の素数は2だけ である」という性質を利用すると, かの値が2に決まる。 奇奇=個 偶 =偶 偶 【CHART 素数 正の約数は1とその数だけ 偶数の素数は2だけ 解答 (1) n²+2n−24=(n-4)(n+6) nは自然数であるから n +6> 0 n²+2n−24が素数であるとき, ① から よって このとき n-4=1 ゆえに n=5 n²+2n−24=(5-4)(5+6)=11 これは素数であるから, 適する。 したがって n=5 (2) r=q²-p²-5 (1) また n-4<n+6 n-4>0 POINT (q+p)(q-p)=r 0 <p <g <rであるから rが素数であるから ② より gtp=r, g-p=1 gp=1 (奇数)であるから, g, かは偶奇が異なる。 更に, p<g であるからp=2 よってg=3 ゆえに r=3+2=5 したがって (p, q, r)=(2, 3, 5) ■まず, 因数分解。 (*) n-4=1が満たされて もn+6=(合成数)となって しまっては不適となる。 その ため, n²+2n−24 が素数と なることを確認している [n+6=5+6=11 (素数)の }………(*) の確認だけでも十分である]。 (2) 0<g-p <g+p 2 整数の和(または差)が偶数 整数の和 (または差) が奇数⇔ IS } 素数は2以上の整数。 g, pのどちらか一方は2 となる。 2整数の偶奇は一致する 2 整数の偶奇は異なる KLASSIES IST 練習 (1) nは自然数とする。 次の式の値が素数となるようなn をすべて求めよ。 3 108 (ア) n²+6n-27

105.2 記述に問題ないですか？

て求めよ｡ 後の数の差が せよ。 24148 基本事項 ② される。 下3桁が8の とみなす) Da+b を示す。 ■ +36 6 00m 122 切ると 122 である になる。 tcが 基本例題105 素因数分解に関する問題 63n 40 7 (1) (1) (2) 解答 (1) √Am (m は偶数)の形になれば, 根号をはずすことができるから, 指針 いずれの問題も素因数分解が,問題解決のカギを握る。 √の中の数を素因数分解しておくと、考えやすくなる。 n (2) 14/05 = (mは自然数) とおいて, ,2 n³ 196 " 441 を考える。 JUSCONOTON 練習 ② 105 n² n , 6 196, 63n (1) (3) が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 BSC1638 COMERC V 40 これが有理数となるような最小の自然数nはn=2･5・7=70 n (2) = (m は自然数) とおくと 6 ゆえに 3 n 441 N 53 441 3².7n 2³.5 7 3a+2a+? EKOPACOTCO これが自然数となるのは, が7の倍数のときであるから, m=7k(kは自然数) とおくと n=2.3.7k ① よって用 23.33.73k³ 3².7² -= 2³.3.7k³ ONDOR 3220520 これが自然数となるもので最小のものは, k=1のときである から, ① に k=1 を代入して n=42 n 10 n=2.3m n² 22.32m² 32m² \2 196 (3m)² ² = 2272 500 77n = 1 【検討 素因数分解の一意性 素因数分解については,次の 素因数分解の一意性も重要である。 がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 p.468 基本事項 ③ 3 7n 2 V 2.5 18 nº が自然数となる条件 が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 √54000nが自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 3 2 n° 45 00000 000 UT 合成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ1通りである。 したがって、整数の問題では、2通りに素因数分解できれば,指数部分の比較によって方程式を 解き進めることができる。 問題 3"15"=405 を満たす整数m,nの値を求めよ。 解答 3.15=3(3・5)"=3"+".5", 405=34･5 であるから 3m +1.5"=34.5 よって m=3, n=1 指数部分を比較してm+n=4,n=1 |素因数分解 3) 63 3) 21 7 63=3².7 63=327,40=23.5 3 7 2 V 2-5 ・×2･5・7 =12/23.7=12/12 (有理数) となる。 HO より, kが最小のとき, nも最小となる。 1645500 03-31801- がすべて自然数となるような最小の自然数n を求めよ。 (p.484 EX74.75

105.2 記述これでも大丈夫ですか？？

基本例題105 素因数分解に関する問題 (1) (2) V40 63n n n² 6'196' BAL. 解答 が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 **BaC18030 3 n³ "ST (2) がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 4410 p.468 基本事項 ③ 指針 いずれの問題も素因数分解が,問題解決のカギを握る。 (1) √A" (mは偶数) の形になれば, 根号をはずすことができるから, √の中の数を素因数分解しておくと,考えやすくなる。 n (2) 17/12 = (m は自然数) とおいて、 を考える 63n 40 DY n² n 23 196' 441 32.7m 3 7n (1) 2³.5 21 2.5 上 これが有理数となるような最小の自然数nはn=2・5・7=70 n (2) 2/1- = (m は自然数) とおくと nº 22.32m²32m² 2 3-m² = (3m)² ゆえに 196 22.72 +77 これが自然数となるのは m=7k(kは自然数)とおくと よって n=2.3m n³ 23.33.7°ki = 23・3・7k3 441 3².7² が自然数となる条件 BONGOTO が7の倍数のときであるから, ① n=2.3.7k 80/00000 これが自然数となるもので最小のものは, k=1のときである から ① に k=1 を代入して n=42 【検討 素因数分解の一意性 - |素因数分解については,次の 素因数分解の一意性も重要である。 この自然数nを求め 63=32･7,40=23･5 JMS 3 |素因数分解 3) 63 3) 21 7 63=32.7 12/12/25×2-5-7 -×2･5・7 212･5 - 12/27-12/12 (有理数) •7=. となる。 < ① より kが最小のとき, nも最小となる。 合成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ1通りである。 したがって、整数の問題では, 2通りに素因数分解できれば,指数部分の比較によって方程式を 解き進めることができる。 問題 3.15"= 405 を満たす整数m,nの値を求めよ。 [解答 3.15"=3"(3.5)"=3m+n.5", 405=34･5であるから 3m+n.5"=345 よってm=3, n=1 部分を比較して m+n=4,n=1