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●8 内積/垂直(2)
三角形 OAB において OA=d, OB=とし,||=5,16|=4, ∠AOB=60° とする. 点Aから
対辺 OBに下ろした垂線をAHとし,∠AOBの2等分線が線分AHと交わる点をCとする.さら
に、線分 BC の延長が辺 OA と交わる点をDとする。 このとき,
(1) ab=
(3) OC=E
a+b
(2) OH-
(4) OD'=
=
16
垂線の足のとらえ方 右図のように、直線 OX に点Y から垂線を下ろし、その
足をHとする. OH を OX と OY で表そう. OH=tOX とおくと, HY=OY-OH 20
と OX が垂直だから, (OY-FOX)OX=0 OY.OX=0X12
(日大生産工)
これよりt=
OX OY
|OX|2
(これは実数), OH =
OX OY
10X12
-OX となる.
→X
0.0
H
解答言
|a|=5, |6| = 4, ∠AOB=60°
(1) a+b=|a||b|cos60°=5·4- =10
1
2
(2) OH = s とおく AH⊥OBより AHOB=0
(OH-OA) OB=0
B(b)
4
H
(sba) b=0
30°
前文のOH の式を正確に覚えら
れるならそれを使ってもよいが,
OH = so とおいて(前文の式を
導くように解く方が間違えにくい
だろう.なお, △AOH に着目す
30°
10 5
よって,s=
5
OH =
-b
D
152
42 8'
8
5
4.
るとOH=OAcos60°
5
2
= となる.
(a)
これを用いて,
(3) OCは ∠AOB の2等分線であるから
AC:CH=OA: OH であり, ∠AOH=60° より OA OH=2:1である.
「OHはOBと同じ向きで大きさ
5
が
のベクトル, OBと同じ向
5
つまり AC:CH=2:1で (2)より OH-
一
だから
8
=
3
3
-> 5
OC-120A+2/20H-1210+12
= a+
(4) Dは直線 BC 上にあるので,
きの単位ベクトルは10B だか
5 OH=5.OB=OBJ
(80(1-0)+701240018 D
としてもよい。
5
OD=OB+tBC=OB+t (OC-OB)=万+t
a+ -b-b
・①
3
と表すことができる. Dは直線OA上にあるから①のの係数は0であり,
1=
5
12
1+1 (1-1)=0
12
=0
t=
2
7
これを① に代入すると, OD =
=
注 解答前文のOH には名前がついていて,「OHは, OY の OX への正射影
ベクトル」 (OXに垂直な方向からOY に光を当てたときに OX 上にできる
OY の影が OH, という意味)。
