基本 例題 23 数列の極限 (6) ・・・
はさみうちの原理 3
△
45
①①①
(1) 実数x に対して[x]をm≦x< m+1 を満たす整数とする。 このとき,
[102]
lim
102m
を求めよ。
(2) 数列{an) の第n項 α7 はn桁の正の整数とする。 このとき, 極限
[山梨大)
logio an
lim
を求めよ。
72
[広島市大〕
基本21
指針
この問題も、極限が直接求めにくいので、はさみうちの原理を利用する。
(1) [x] をはさむ形を作る。 x]はガウス記号であり (「チャート式基礎からの数学
I+A」 p.121 参照) [x]≦x< [x]+1 が成り立つ。 これから
(2) α は n桁の正の整数 10" 'Man<10" (数学ⅡI)
(1)任意自然数nに対して, [102] 10°"z<[10%"z]+1
102-1< [102]≦102
1 [102]
<
10²n 102n
x-1<[x]≦x
<[x]≦x<[x]+1
2章
③数列の極限
2限
[102] をはさむ形。
から
解答
よって
1
limπ
201
102πであるから
[102]
lim
π
はさみうちの原理。
102n
12-00
(2) α は n桁の正の整数であるから
各辺の常用対数をとると
10"-1≦an<10"
n-1≦10g10an<n
10g1010=n
よって
1 log10 an <1
n
n
lim (1-1) =1であるから
lim
log10 an
1
はさみうちの原理。
12-00
n
7→80
注注意 はさみうちの原理を誤って使用した記述例
例えば、前ページの例題22の解答で, A 以降を次のように書くと正しくない答案となる。
0<<6
Aから
n²
0<lim-
<lim
→ 2
6
n
=0 よって lim
n2
=0
2
[説明] はさみうちの原理は
818
an≦cn≦bn のとき lima= limb = αならば limc=α
→80
n00
これは, 「acn≦bn が成り立つとき, 極限lima, limb が存在し, それらがαで一致する
ならば,{c}についても極限limc が存在し, それはαに一致する」という意味である。
72700
72100
において, 存在がまだ確認できていない極限lim
を有限な値として存
上の答案では,
在するように書いてしまっているところが正しくない。 正しくは、 前ページの解答のA, B
のような流れで書く必要がある。
n²
11-00271
練習 実数 α に対してαを超えない最大の整数を [α] と書く。 [ ]をガウス記号という。
23 (1) 自然数の桁数kをガウス記号を用いて表すと, k =[[ ] である。
(2)自然数nに対して3”の桁数を km で表すと, lim-
kn
12-00 n
"である。 [慶応大]
