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基本 例題 183 分散と平均値の関係
A
00000
ある集団はAとBの2つのグループで構成さ日 グループ 個数 平均値分散
れている。データを集計したところ,それぞれ
のグループの個数, 平均値, 分散は右の表のよ
20
16
24
60
12
28
B
[立命館大
基本182
▼うになった。このとき,集団全体の平均値と分散を求めよ。
指針 データ X1,X2, ......, xn の平均値をx,分散を sx2 とすると、
(A) sx²=x-(x)²
が成り立つ。 公式を利用して,まず, それぞれのデータの2乗の総和を求め、 再度、
式を適用すれば, 集団全体の分散は求められる。
この方針で求める際, それぞれのデータの値を文字で表すと考えやすい。 下の解答で
は,A,Bのデータの値をそれぞれ X1,X2, ......, X201,y2,
・・・・, y6o として考え
ている。 なお、慣れてきたら、 データの値を文字などで表さずに, 別解 のようにして
求めてもよい。
20×16 +60×12
集団全体の平均値は
20+60
13 集団全体の総和は20×16 +60×12
解答
Aの変量をxとし, データの値を X1,X2, ......,X20 とする。
また,Bの変量をyとし, データの値を y1,y2, ......, y6o とする。
x, yのデータの平均値をそれぞれx, y とし, 分散をそれぞれ sx', sy2 とする。
x=x(x)2より,x=sx'+(x)2 であるから
x²+x2+......+X20²=20×(24+162)=160×5=(x+x2+…+5
sy2=y-(v)2より, y=sy'+(y)' であるから
yi2+y2+... +y02=60×(28+122)=240×43
よって, 集団全体の分散は
1
20+60
(x+x22+......+X202 +y+y2++y6o2 ) 132
20
集団全体の平均値は13
160×35 + 240×43
20
-169=30
80
別解 集団全体の平均値は
20×16 +60×12
1)+(a
a)+(a-1))
=13
20+60
Aのデータの2乗の平均値は 24+162 であり, B のデータの2乗の平均値は
28+122 であるから,集団全体の分散は
20×(24+162)+60×(28+122 )
20+60
(上)
-132=
160×35 + 240 × 43
-169=30
80
