例題 37 領域における最大・最小
連立不等式 x2+y2≦4, x+y≧0 の表す領域をDとする。
の領域D内を動くとき,2x+yの最大値と最小値を求めよ。
点P(x,y)が
考え方
2x+y=k
直線 2x+y=k が領域Dと共有点をもつようなkの値の範囲を調べる。
連立不等式の表す領域Dは、下の図の斜線部分で,境界線を含む。
は傾き-2,y切片んの直線を表す。
直線①が領域Dと共有点をもつときの切片kの最大値と最小値が,求めるも
のである。
右の図のように直線①が円に接するときは最大
値をとり, 直線 ①の傾き-2は,-2<-1より,
Wy
k
点(-√2/√2) を通るとき, kは最小値をとる。
直線 ①と円 x2+y2=4 が接するとき,円の中心と直 (-√2,√2)
線の距離が円の半径2に等しいから,
|-k| -=2,
√22+12
-2
すなわち,
|-k|=2√5
k
図より,k>0 であるから,
-2
k=2√5
接点は直線 y=-2x+2√5 と y=1/2xの交点であるから,
4√5
2√5
x=
9
y=
のとき, 最大値 2√5
5
5
注
直線①点(-√2,√2)を通るとき, 2x+y=k より, k=-√2
よって、
x=-√2,y=√2 のとき,最小値√2
直線 y=-2x+k と円 x2+y2=4 が接するときのんの値は, 2次方程式
x2+(-2x+k)2=4 の判別式が0になることから求めてもよい。
