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解答
基本 例 44 連立漸化式 (1)
00000
数列{an}, {bm} を a=b=1, an+1=an+4bn, bn+1=an+bnで定めるとき、数
|{a},{bm} の一般項を次の(1), (2) の方法でそれぞれ求めよ。
(1) an+1+abn+1=β(an+abn) を満たすα, Bの組を求め, それを利用する
(2) bn+2, bn+1, b, の関係式を作り,それを利用する。
基本41 重要 5
指針 本間は, 2つの数列{a},{bm} についての漸化式が与えられている。このようなタイ
プでも、既習の漸化式に変形の方針が基本となる。
(1)解法 1. 等比数列を作る
数列 {an+ab} を考えて,これが等比数列となることを目指す。 すなわち
an+1+αbn+1=B (an+αb) が成り立つようにα, β の値を決める。
→本問では, 値の組 (α, β) が2つ定まるから,一般項 α+●b を2つの式で
表した後,それをan, bn の連立方程式とみて解く。
注意 値の組 (α, β) が1つしか定まらない場合は、基本例題45のように対応する。
(2) 解法 2. 隣接3項間の漸化式に帰着させる
2つ目の漸化式から an=bn+1-bn
(*)よって an+1=bn+2-b1
{bm} についての隣接3項間の漸化式を導くことができる。 →基本例題41参照。
まず, 一般項bn を求め,次に (*) を利用して一般項 αn を求める。さ
この2式を1つ目の漸化式に代入し, an+1, an を消去することによって、数列
(1) an+1+αbn+1=an+4bn+α(an+bn)
=(1+a)an+(4+a)bnNDS
よって, an+1+αbn+1= (a+b) とすると
(1+α)an+(4+α)bn=βan+aßbn
これがすべてのnについて成り立つための条件は
1+α=β,4+α=aβ
a+
an+1=an+4b
b+1=a+b を代入
an, bn についての恒
ゆえに
Q2=4
よって α=±2
ゆえに
(a,β) = (2,3), (-2,-1)
よって
a1+261=3;
an+1+2bn+1=3(an+2b),
an+1-26n+1=- (an-26), α1-2b1=-1
ゆえに, 数列{an+26} は初項 3, 公比3の等比数列;
数列{an-2b} は初項-1,公比-1の等比数
よって
列。
an+2bn=3.3"-1=3n
an-2bn=-(-1)"'=(-1)"...
3"+(-1)"
(①+②)÷2から
an=
(①-②) ÷4から
bn=
4
3"-(-1)"
等式とみて、係数比較
アからを消去する
と 4+α=q(1+α)
α=2, β=3
a=-2, β=-1
①出ar-l
なぜ
を消去。
=(-1)h
になるんですか? 10. 消去
