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OOOO0
重要例題 33 不等式の表す領域
実数a, bを係数とするxの2次方程式 x+ax+b=0 が虚数解zをもつ。
(1) 6-as1 を満たすとき、 点zの存在範囲を複素数平面上に図示せよ。
で定まる点wの存在範
22
(2) 点をが(1)で求めた存在範囲を動くとき, w3
【類電通大)
基本 24,27
囲を複素数平面上に図示せよ。
CHART
SOLUTION
複素数平面上の領域の問題
a-alSr (r>0) 点αを中心とする半径rの円周および内部
a-al2r (r>0) 点々を中心とする半径rの円周および外部
(1) zの共役複素数zも方程式の解である。 解と係数の関係から, a, あを2, 2
を用いて表し、 不等式に代入する。
(2) 2=(wの式)で表し、 (1)で求めたzの不等式に代入する。
解答
(1) a, bは実数であるから, zの共役複素数zも2次方程式
+ax+b=0 の解である。
12
1+2
解と係数の関係から
b-aS1 に代入すると 22+z+z$1
よって ((z+1)(z+1)<2すなわち (z+1)(z+1)s2
土z=ーa,zz=b
-1-V2
-2
ゆえに
z+IS2 すなわち 1z+1|<V2
よって, 点zの存在範囲は, 右の図の斜線部分。 ただし, z
は虚数であるから, 実軸上の点を含まない。 境界線は, 実軸との交点を除いて他は含む。
(2) 20=- から
20キ0 であるから
02=1
=2
W
lz+1|s/2 に代入して +1s2
1+2
V2
W
11+w|<、2| すなわち |1+w}<2|w°
(20+1)(か+1)ハ2ww
0w- w0+1w2 すなわち (w-1)(0-1)22
|0-122 すなわち |w-12/2
ゆえに
1-/2|0 1
E
よって
ゆえに
-2
よって
したがって, 点y の存在範囲は, 右の図の斜線部分。ただし. wは虚数であるから,
軸上の点を含まない。 境界線は, 実軸との交点を除いて他は含む。
ゆ
す
キー
