演習9(3)の解説が始まる前の文章に「分母がnの1次式で探せばよい」とありますが、なぜ2次式ではなくて1字式なのでしょうか。

an+1+(n+ よって, an+n+1=2"-1 (a,+1+1)=3.2-1 ∴an=3.2"-1-n-1 (2) an+1=44-2 +1 を 4n+1で割って, an+1 an 4n+1 4" -(/)+1 an bm == b=3, とおくと, b1=441=1,bm+1=0,-(1/2)"となるので,n≧2のとき, n-1 bm n-1 k=1 bn=b₁+ (br+ - br) = 1 − ( )*()* \k+1 =1- 【(2) f( を問目 2 =1/12/11-(1/2)^2}=1/2+(1/2)(n=1のときもこれでよい) よって, an=4b64"{/12+(1/2)"} =2.4"-1+2" = 【別解】 (2) an+1+A・2n+1=4 (an+A・2") を満たす A を求める. an+1=4an+4A2"-A2n+1=4a+A2"+1 と条件式を比べて, A= -1. Qn+1-2n+1=4(an-2")より, {am-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1 (α1-21)=2.4n-1 ..an=2.4"-1+2" 9 演習題(解答は p.75) Cn こ 次の式で定められる数列の一般項 an を求めよ. - (1) a1=2, an+1=3an+2n²-2n-1 (n≥1) - - (2) α=1, an+1-2am=n.2n+1 (n≧1) (岐阜 (日本獣医畜産 + (3) a1= 1, an+1= 1 n-1 zan+n(n+1) (n≧1) ( 岐阜大・教 64 項 (+212)

数列は基本的にa_nとa_(n+1)で解き進めるそうです。今回、a_nとa_(n-1)で解きましたが、この解き方がダメなのは、n=2,3のとき不成立だからでしょうか？ そしてこれは数列は基本的にa_nとa_(n+1)で解かなければいけない、普遍的な理由になり得ますか。

4' 1 bm= とおくと, bm+1=56+1 ...... ② だから, an 4 ba+1+1/2-5 (00+1) =5"-bi 4 6.+1-5-1(1+1)-50-1 (1/2+1/2)-1/50-1 3 == ・5n-1 4 4 1-8 ②③より変形する. {bn+1}は公比5の等比数列 <b₁= -1-1 a1 .. 4 b=-5-1-1-3-5-1-1 (2) a1=2, nan+1=(n+1)an+1 4 .. an 4 4 3.5"-1-1 ・④ 階差型になる. (+) = (108) 5. +1+ 1 n+1=out-2より {bm+/12}が定数数列としてもよ い ---2 1 THE あにまん ④ を n(n+1) で割ると, an+1 an 1 + ↓ n+1 n n(n+1)=( ant pant time an 'bn=- n とおくと, bn+1=bn+ 1 n(n+1) bn+1-bn= 1 よって, n≧2のとき, (n+1) k=1 bn=b₁+" (b+1-br)=2+ n-1 •=2+ b. - k(k+1) 2+(1/ =2+ 1 1 (n-1)+1 =3-- (n=1のときもこれでよい ) n :.an=nbm=3n-1 11 演習題 (解答は p.76 ) 次で定義される数列{4} の一般項を求めよ. 0 (1) 例題 (1) に似てい る. (2) 2との関係 an-1 (1) a1=8,4n= (n=2, 3, ...) (津田塾大 国際関係) (n-1)an-1+1 (2) a1=3,aman+1=5.22n-1 (n=1,2,3, ...) (信州大・理) は? 66

(2)を解きましたが間違いでした。a_(2n-1)=bkと数列を置くところが違うのでしょうか。

1+1 (1) q=1より, a2=a+- =2,as=a2+/2/2=3 2 4 3+1 a=a3+ =5, as=a4+2 -=7,as=as+ 5+1 2 =10, a₁ = a+ 6 =13 (2) n=2k-1のとき, (2k-1)+1 a(2k-1)+1=a2k-1+ a2h=a2k-1+k 2k n=2kのとき,2k+1=azk+ =a2k+k 2 ①,②より,azk+1=a2k+k=(azk-1+k)+k=azk-1+2k n≧2のとき、 azn_1=a1+(ag-a)+(a5-a3)+..+(azn-1-a2n-3) n-1 n-1 fch-in) Q- =a1+ (azh+1-a2n-1)=1+2k=1+2(n-1)n k=1 =n2-n+1 (n=1のときもこれでよい) ①から, azn=azn-1+n=n2+1 ③ ④ n=20 として, α39=202-20+1=381, a = 202+1=401 (3) ③, ④より 20 n=1 20 (a2n-1+a2n) = (2n²-n+2) =(2n²-n+2) n=1 =2.11.20-21-41- 1 ・20・21+2・20=5570 3 奇数項についての漸化式を立て て奇数項を求める。 偶数項は奇 数項からすぐに分かるので, 偶数 項についての漸化式は立てる必 要はない. Σa=na k=1 13 演習題(解答は p.77) 次の漸化式によって定義される数列{a} (n=1, 2, ･･･) について,次の問いに答えよ. 1 a1=4, a2n=/azn-1+n2, azn+1=4a2n+4(n+1) (1) 2, 3, 4, 5 を求めよ. It (2) azn, a2n+1 をnを用いて表せ。 (2) 奇数番目の項だけ (3){a} の項で4の倍数でないものは, nの値が小さいものから4項並べると, a, ao, ao, ao Ths. に着目する. (3) 2+1 は漸化式か (類 松山大薬) 88 68

解答とは違う解き方で解きましたが、(2)の答えが合いません。×2が足りないそうですが、どこで間違えたのでしょうか。

92項間漸化式/an+1=pan+f(n) - 次の式で定められる数列の一般項 4 を求めよ. (1) a=1, n+1=20n+n (n=1,2,3, ...) (2) a1=4,n+1=40-2"+1 (n=1, 2, 3, ...) (弘前大・理工-後) (信州大工) 型の漸化式を解く 2項間漸化式の解き方 an+1=pan+f(n) (p=0.1:f(n)はnの式) には、変形して+1+g(n+1)=plan+g(n)}となるようなg(n) を見つけて, {an+g(n)}が等比 数列になることを用いればよい (i) f(n)がnの多項式の場合,g(n)もf(n)と次数が等しいnの多項式である。g(n)の係数を 未知数とおいて,☆より係数を求めればよい。 特にf (n) が定数の場合は前頁で扱った. (ii) f(n)=Aq" (g≠p, A は定数) の場合,g(n)=Bg”として, が成り立つように定数Bを定め an+1 an ればよい.また,an+1= pan+Ag" の両辺を"+1で割って, +A p" +1 (2)². ここで, an A bn とおいて, bm+1=bn+ として階差型の解き方 (前頁)に持ち込む手でもよい。 P 解答 (1) an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B) を満たす A, B を求める. an+1=2an+An+B-A と条件式を比べて, A = 1, B-A=0 :.B=1 an+1+(n+1)+1=2(a+n+1)より,{an+n+1}は公比2の等比数列. よって, an+n+1=2"-1 (Q1+1+1)=3·2"-1 .. an=3.2"-1-n-1 左辺はA(n+1) になることに注 意. (2) +1=44-2n+1 を 4n+1で割って an+1 an 1+1 4n+1 an 4" 2 \+1 == 4" bm=211 とおくと, b1=41=1,n+1=bn-(12)となるので2のとき 【 (2) の別アプローチ】 f(n) が Ag” の形の場合は、両辺 を Q"+1 で割ると, 典型的な2項 間漸化式に帰着されることに着 目. 漸化式を 2 +1 で割って, 1 \n-1 -1 bm=b1+2(bk+1-bh)=1- k=1 -1- 12/12(1/2)-1/12+(1/1) n-3 1+1 2 an+1 an ・=2. =1- -1 2"+1 2" 11-113 an 2" Cn= とおくと, C+1=2cm-1. (n=1のときもこれでよい) これから解く. よって,=40=4 =4*{/12+(1/2)"} =2.4"-1+2" 【別解】 (2) an+1+A.2"+1=4(an+A2") を満たす A を求める. an+1=40+4A2"-A2n+1=40+A2"+1 と条件式を比べて, A=1. an+1-2n+1=4(an-2")より, {4-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1(α1-21)=2.4-1 . 9 演習題(解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項4 を求めよ. an=2.4"-1+2" (1) 41=2,4+1=3an+2n2-2n-1 (n≧1) (2) α=1,n+1-20万=n.2n+1 (n≧1) (岐阜大) (日本獣医畜産大) (1), (3) an+1+f(n+1) =k(a+f(n)) となる (日)を探す

2項間漸化式を目指して2枚目のように解きましたが、答えが違いました。なぜでしょうか。

92項間漸化式/an+1=pan+f(n)- 次の式で定められる数列の一般項 αを求めよ. (1) 1=1, m+1=20n+n (n=1, 2, 3, ...) (2) a1=4, n+1=40-2n+1 (n=1, 2, 3, ...) (弘前大・理工-後) (信州大工) 2項間漸化式の解き方 an+1=pan+f(n) (p=0.1f(n)はnの式)……型の漸化式を解く には,変形してan+1+g(n+1)=p{an+g(n)}となるようなg(n)を見つけて,{an+g(n)}が等比 数列になることを用いればよい. (i) f(n)がnの多項式の場合,g(n)もf(n) と次数が等しいnの多項式である。g(n)の係数を 未知数とおいて, ☆より係数を求めればよい。 特にf (n) が定数の場合は前頁で扱った。 (i) f(n)=Aq"(g=p, A は定数) の場合, g(n)=Bq"として,☆が成り立つように定数Bを定め an+1 an A ればよい.また, an+1= pan+Ag" の両辺を "+1で割って + pn+1 pn p 4(1). ここで. an ,= bn とおいて, bm+1=bn+ A n 9 として階差型の解き方 (前頁) に持ち込む手でもよい。 解答圜 p" (1) an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B) を満たす A, B を求める. an+1=2an+An+B-A と条件式を比べて, A=1,BA=0 ... B=1 an+1+(n+1)+1=2(a+n+1) より, {an+n+1}は公比2の等比数列 . .. an=3.2"-1-n-1 よって, an+n+1=2"-1 ( 41+1+1)=3・2n-1 (2) +1=4a-2n+1 を 4n+1で割って, An+1 an 1\n+1 4n+1 4m 2 an a1 1\n+1 bm- == 4" とおくと, b1=2=1, bn+1=bn- 2 となるので,n≧ 2 のとき, 1\n-1 1- 1k+1 =1- k=1 k=1 左辺は A (n+1) になることに注 意. 【 (2) の別アプローチ】 f (n) が Aq” の形の場合は、 を qn+1で割ると,典型的な2項 間漸化式に帰着されることに着 目. 漸化式を2+1で割って n-1 bn=b₁+ (b+1-br)=1—', =1/1/11(1/1)-1/2+(1/2)(n=1のときもこれでよい) よって、 2=4m {/12+(1/2)"}-2-4-1+2" 【別解】 (2) 4n+1+A.2n+1=4(an+A2") を満たす A を求める. an+1=4a+4A2"-A2"+1=4an+A2"+1 と条件式を比べて, A=-1. an+1-2n+1=4(an-2")より, {an-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1(α1-21)=2.4-1 ..an=2.4"-1+2" 9 演習題(解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項 n を求めよ. (1) 41=2,n+1=3an+2n2-2n-1 (n≧1) (2) a1=1,4n+1-2an=n.2n+1 (n≧1) (3) α1=1,n+1=2 1 ant an+1 an =2- 1 2"+1 2" an Cn= とおくと, C+1=2c-L 2" これから解く. (岐阜大) (日本獣医畜産大) (1), (3) an+1+f(n+1) =k(antf(")) となる f(n) を探す (2)階差に持ち込む n-1 (n≧1) n(n+1) (岐阜大 教後)

三項間漸化式 (2)で解説には1個しか式を書いてないんですけど、左の(I)には式を2個作って連立してるんですけど式は1個でもできるんですか？

1293項間の漸化式 2,=4,an+2=-a1+2an (n≧1) で表される数列{a, がある。 (1) (2) an+2-αan+1=β(an+1-αan) をみたす 2数α, β を求めよ. an を求めよ. 精講 an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 f=pt+q の解をα,βとして,次の2つの場合があり ます。 (I) α≠β のとき an+2= (a+β)an+1-aban より an+2-dan+1=β(an+1-aan) an+2-βax+1=α(an+1-Ban) anをと 2次方程式を解の、とする anをしとして 700 ・① ......② ①より, 数列{an+1-Qan}は,初項 a2-way, 公比βの等比数列を表すので、 an+1-dan=βn-1 (azaar) ...... ①' 同様に,②より, an+1-Ban=α"-1 (α-βas) ...... ②' (β-α)an=β"-1 (a2-aa1)-α"-1 (az-Bar) (1) an+2=(a+β)an+1-aBan 解 答 与えられた漸化式と係数を比較して、 α+β=-1, aβ=-2 .. (a, B)=(1, 2), (-2, 1) (2) (α,β)=(1, 2) として an+2-an+1=-2(an+1-an) an+1-an=bn とおくと bn+1=-26 また, b=a2-a=2 n≧2 のとき, n-1 an=a1+2(-2)-1 =2+2・ k=1 :.bn=2(-2)^-1 1-(-2) ----(4-(-2)^-') 1-(-2) これは, n=1のときも含む. (別解) (α,β)(2,1)として an+2+2an+1=an+1 +2an [123] an+1+2an=a2+2a1 よって, an+1=-2an+8 2 ---2(a-3). α-3--3 a [124] 199 ①-②' より, 8 : an+1 β”-1 (a2-aa)-α"-1 (a2-Bas) ... an= したがって, an-0323-172(-2)*- 8 an= (4-(-2)-1) B-a 出 注 実際には α=1(またはβ=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数 列の性質を利用します。 (本間がそうです) ポイント (II) α = β のとき an+2-Qan+1=α(an+1-aan) : an+1-aan=α"-1 (az-dai) ......③ an+2=pan+1+gan 型は, 2次方程式f=pt+g の 解α,βを利用して、 等比数列に変形し2項間の漸 式にもちこむ An+1 an+1 つまり、数列{an+1-αan} は, 初項 α2da, 公比αの等比数列. ③の両辺をα+1でわって an a2-aa1 an a² n-1 n≧2 のとき,k+1 ak a2day k+1 k=1\a" k=1 an よって, an a=(n-1).az-aa 演習問題 129 a=1, a2=2, an+2=3a+1-24 で表される数列{an}があ 7月) をみたす2 数 α, βを求めよ

bn +1-bnの式がなぜ階差数列のbn=b1+〜の式になるのかがわからないです。 教えてください。

6-2 a1=15, n=2an-1+4"-1 (n=2, 3, ...) antに2ant!-1にいが残る。 Qu au+1 au 24+ 1 = 2" 12 2x 2htl でわっても →階差型一択 階差にもっていくときはauの係数の条 h=1のとき、 b13+2+/2/ butl = au =2+2+1 bm 24+1 bu+ght1_11yutl (/)+1 buri-bin 2-(+) ** hzzaとき bn=b1+2-(2) kt1 + 4(2-1) 2-1 15 =1+2-4-1/2+ =3+21 (2) 1 = 2 よって成り立つ An = {3+2+1+4(=) "42" =3.2+1+1

写真の漸化式について ぱっと見たとき指数型かなと思ったのですが、解答を見ると階差型で解いてありました。 anのあとがnの式であれば階差型と覚えていたのですが、指数nがついていても階差型として解くことがあるのでしょうか？

数列{an} の一般項を求めよ. (1) a1 = 1, an+1 =1, an+1 = an+ +(1) 3 n-1

編入数学徹底研究の不定積分からです。 (2)のLnを求めるときに、解答の黄色のマーカー部分の発想はどういう点から生まれるのでしょうか？ 黄色のマーカー部分の解答をしようと思う根拠が知りたいです。 よろしくお願いします🙇

⑥ L.= ∫ (logx)" dx とする。 6 (1) Ln=x (10gx)"-nLn-1 (n≧1) を示せ。 (2) を求めよ。

写真の質問に答えてください！

すべての漸化式の基本となるのが、 等差数列型・等比数列型・階差数列型の3種類。 複雑な漸化式でも、これら3つのいずれかの形になるように変形していきます。 この形は等差数列の一般項 An= a₁ + d(n-1) 12 その部分に+1を加えた形なので、 an+1=a1+d(n+1−1) = a₁ +dn1= なるのではないですか? 等差等比・階差型の漸化式 ● ● 等差数列型 an+1=an+d 等比数列型 an+1 = ran 階差数列型 an+1 = an + f(n)