られた条件を
を求める
する。)
いものを除く
。
点Pが
よ。
P(x,y)
5。
存在し
基本 例題 98
曲線上の動点に連動する点の軌跡
00000
点Qが円x2+y2=9 上を動くとき, 点A(1, 2) とQを結ぶ線分 AQ を 2:1
に内分する点Pの軌跡を求めよ。
CHART & SOLUTION
連動して動く点の軌跡
つなぎの文字を消去して、x,yだけの関係式を導く
動点Qの座標を(s,t), それにともなって動く点Pの座標を(x,y) とする。Qの条件をs,
を用いた式で表し, P, Qの関係から,s,tをそれぞれx,yで表す。 これをQの条件式に
代入して, s, tを消去する。
解答
Q(s,t), P(x,y) とする。
Qは円x2+y2=9 上の点であるから
s2+12=9
Pは線分AQ を 2:1に内分する点であるから
1.1+2s 1+2s
2+1
3
-3x-1, 1-3v-2
よって
2
●これを①に代入すると
8=
y=
1.2+2t 2+2t
2+1
3
(3x21)+(32/22)-9
2
2
( x − ²1² ) ² + ( x − ² ² ) ² = ₁
=4
9
2 2
10*1²= 2/(x-1) ²
2 ( x − 3 ) ² + 2 (v - ² ) ² = 9
4
- @
=9
よって
したがって, 点Pは円 ② 上にある。
逆に, 円 ② 上の任意の点は,条件を満たす。
以上から, 求める軌跡は 中心 (12/12/2) 半径2の円
2
p.158 基本事項 1
(s, t)
Q
-3
ya
13
O
A
(1,2)
+
P(x,y)
つなぎの文字 s, tを消
去。 これによりPの条
件 (x,yの方程式)が得
られる。
[in 上の図から、点Qが
円x2+y2=9上のどの位
置にあっても線分AQは
存在する。 よって、 解答で
求めた軌跡に除外点は存在
しない。
POINT 曲線 f(x,y)=0 上の動点(s,t) に連動する点 (x,y) の軌跡
① 点 (s,t) は曲線 f(x, y) = 0 上の点であるから f(s,t) = 0
② s, t をそれぞれx, yで表す。
③ f(s,t) = 0 ② を代入して, s, t を消去する。
3章
13
軌跡と方程式
