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第3問 場合の数 確率
【解説】
以下では,
東方向への移動を
南方向への移動を
西方向への移動を
北方向への移動を↑
とし,点Aから出発する経路と4種類の矢印の並べ方を対応さ
せて考える.例えば,→→→ という並べ方に対しては次図の
(a)の経路が対応し、という並べ方に対しては次図
の (b) の経路が対応する。 逆に,点Aから出発する経路を1つ定め
ると,それに対応する矢印の並べ方が1つ得られる。
(コ)
B
B
「よりも左側に↓があるものの個数を考える。 まず、 、 、
の並べ方が,
-=35 (通り)
あり、その各々に対して4個の□への 1, 1, 1, ↓の配置の、
仕方が
4, 1, 1, ↑
*1, 1, 1. t
1. 1. L. 1
の3通りずつあるから, 北方向への移動を3回, 南方向への移動
を1回 東方向への移動を3回行うような移動の仕方の数は、
例えば、4個のと3の一の並べ
35通りのうちの1つとして。
ローローロー
35x3 105 (通り)。
四 南北の4枚のカードから無作為に1枚を引く
2
がある。 このとき、条件を満たすように
3の1と1個のを口へと配置す
ることで.
A
(b)
(1) 点Aを出発し, 5回の移動後に点Bにいる移動の仕方の数は
1. 1. →,,の並べ方の個数であるから,
5!
= 10 (通り)。
2!3!
同じものを含む順列
(2) 点Aを出発し、7回の移動後に点Bにいる移動の仕方のうち、
点Cを通るものは、点Aから点Cに移動するまでに2回, 点
から点Bに移動するまでに5回の移動をすることになる。
点Aから点Cまでの移動の仕方の数は1の並べ方の個数
であるから.
のもののうち、αが、 .
が ......
あると
これらのものを並べてでき
順列の総数は、
(通り)
mimi
(n=m₁+m+
+m₂)
2!=2 (通り)。
である。
この各々に対して,点Cから点Bまでの移動の仕方の数は 「.
の並べ方の個数だけあるから,
=5 (通り)。
よって, 点Aを出発し、7回の移動後に点Bにいる移動の仕方
のうち,点を通るものの数は,
(通り).
また北方向への移動を2回, 西方向への移動を1回 東方向
への移動を4回行うような移動の仕方の数は 1. 1.←→,→
→の並べ方の個数であるから,
とき 引き力は4通りあり、これらはすべて同様に確からしい。
よって,, . 1.の移動が起こる確率はすべてである。
ただし、試行を行った点において、道がない方向のカードを引い
た場合は移動ではなく Stay が起こる。
(3)点Aを出発し、5回の試行後に点Bにいるのは、 が2回,
が3回起こる場合である。 (1)より,その確率は、
-1-1-11
[1] →1→1→
11-1-1-
の3通りの並べ方が得られる。
(4)(
(4) 点Aを出発し、7回の試行後に点Bにいるような事のうち.
Stay がちょうどk 回 k=0.2) だけ起こる事象をR(S=k) と
す。
まず、R(S-2)のうち, D, を過るものについて考える.
このとき、最初の2回の試行でDに到達する必要があるから、
が2回起こればよく、その確率は、
Stay がちょうど1回だけ起こると
残りの6回の試行では、7回の行に
にいるように移動することができ
ない。 また, Stay が3回以上起こると
残りの4回以下の試行ではBに
することができない。
(+
さらに、残りの5回の試行で
その事は、
が起これば試行でD, からBへ到するに
(+)(4)-10(4)
よって、 R (S2) かつ 「D, を通る」 確率は,
8.
105
(通り)
...
次に,R(S-2)のうち、D, を通らずにDを通るものについ
て考える。
次に,f, f, f. 4.,,の並べ方のうち、3個目の
このとき、最初の3回の試行でD, を通らずに D2 に到達する必
25-
はが3回起こる必要があり、残りの2
回でStay. つまり「がない」が起
こればよい
D, D, D, B
