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重要 例題35 数字の順列(数の大小関係が条件)
次の条件を満たす整数の組(a1, az, as, a4, as) の個数を求めよ。
(2) 0Sa」Sazhassasass3
基本 33,34
(1) 0<ai<a2<as<as<as<9
(3) a+aztastastas<3, a;20(i=1, 2, 3,4, 5)
8の8個の数字から異なる5個
指針>(1) ai, az, ……, as はすべて異なるから,1, 2,
を選び,小さい順に a1, az,
→ 求める個数は組合せ&Cs に一致する。
(2)(1)とは違って, 条件の式に<を含むから,0, 1, 2, 3の 4個の数字から重複を許」
て5個を選び,小さい順に a, a2,
求める個数は重複組合せ Hs に一致する。
(3) おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。
3-(a+az+as+astas)=bとおくと ataztastastas+b=3
また,aitaz+as+astas<3から
よって,基本例題34(1) と同様にして求められる。
………, as を対応させればよい。
asを対応させればよい。
一等式
620
解答
8の8個の数字から異なる5個を選び, 小さい
…, as とすると, 条件を満たす組が1つ決ま
検討
うにして解くこともできる。
(2) 「.348 検討の方法の利
(2), (3) は次のよ
順に a1, a2,
る。
7
用] 6:=a:+i(i=1, 2, 3,
4, 5) とすると, 条件は
よって,求める組の個数は
(2) 0, 1, 2, 3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小
さい順に a1, a2,
決まる。
よって,求める組の個数は
(3) 3-(a+az+as+as+as)=b とおくと
ataztas+a4+as+b=3,
a;20(i=1, 2, 3, 4, 5), b20
よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の組の
個数に等しい。これは異なる6個のものから3個取る重複組
合せの総数に等しく
別解 a+az+dstastas=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす0以
上の整数の組(a,, az, as, as, as)の数は sHeであるから
sHo+sH」+H2+sHs=.Co+sCi+C2+,C3
8Cs=&C=56 (個)
0<bくb2くbsくb4<bょく9
と同値になる。よって,
((1)の結果から 56個
(3) 3個の○と5個の仕切り
を並べ, 例えば,
TO|I○○|| の場合は
(0, 1, 0, 2, 0)を表すと
考える。このとき,
AIB|C|D|E|F
とすると, A, B, C, D,
asとすると,条件を満たす組が1つ
Hs=4+5-1Cs=&Cs=56 (個)
の
Eの部分に入る○の数をそ
れぞれ a1, a2, as, A4, Us
とすれば組が1っ決まるか
sC。=56(個)
Hs=6+3-1C3=&C3=56 (個)
ら
=1+5+15+35=56 (個)
