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基本 例題53 剰余の定理利用による余りの問題 (1)
OOOO0
(1) 整式 P(x) をx-1で割ると余りは5, x-2で割ると余りは7となる。 この
とき, P(x)をx-3x+2 で割った余りを求めよ。
(2) 整式 P(x)をxー1で割ると4x-3余り, x-4で割ると 3x+5余る。 この
とき, P(x)をx+3x+2 で割った余りを求めよ。
【近畿大)
【類慶応大)
基本 52
重要55
指針> P(x) が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはいかな
い。このような場合, 割り算の等式 A=DBQ+R を利用する。 …
特に,余りRの次数が割る式Bの次数より低いことが重要なポイント!
2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける。
条件から,この a, bの値を決定しようと考える。それには, 割り算の等式 A=BQ+R
で、B=0 となるxの値(これを●とする)を考えて, P(●)の値を利用する。
基本等式 A=BQ+R
1Rの次数に注意 [2 B30 を考える
CHART 割り算の問題
解答
(1) P(x)をxー3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき
の商をQ(x),余りを ax+bとすると,次の等式が成り立つ。
P(x)= (x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
42次式で割った余
1次式または定数。
B=(x-1)(x-2)
4剰余の定理。また, ⑦の
両辺にx=1を代入する
P(1)=a+b
条件から
P(1)=5
ゆえに
a+b=5
P(2)=7
ゆえに
2a+b=7
2)
と
0, 2を連立して解くと
よって、求める余りは
(2) P(x) をx+3x+2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったとき
の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。
a=2, b=3
2x+3
42次式で割った余りは,
1次式または定数。
る B=(x+1)(x+2)
a, bの値を決定するため
には, P(-1), P(-2) が必
要。そこで, ①, ② にそれ
ぞれx=-1, x=-2 を代
入する。一全(
P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b
の
また、P(x) をx?-1, x-4すなわち (x+1)(x-1),
(x+2)(x-2)で割ったときの商をそれぞれ Q.(x), Q2(x) と
P(x)3 (x+1)(x-1)Q.(x)+4x-3
(P(x)3 (x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5
P(-1)=-7
P(-2)=-1
すると
これと から a+b=-7
これとのから -2a+b=-1
求める余りは
よりS
のから
のから
3, Oを連立して解くと
a=-6, b=-13
-6x-13
(1) 整式 P(x) をx+2で割った余りが3, x-3で割った余りが-1のとき, P(x)
(立教大)
(2) 整式 P(x) をx+5x+4で割ると 2x+4余り, x+x-2で割ると -x+2余
るという。このとき, P(x) をx+6x+8 で割った余りを求めよ。 (東京電機大
Cp.4 EX36
練習
53
をーxー6 で割った余りを求めよ。
