基本 例題 26 分数の数列の和の応用
次の数列の和Sを求めよ。
1
1
9
K-1
n(n+1)(n+2)
1･2･3'2･3･4'3・4・5'
1
1
1+√3' √√2+√4' √3+√√5'
(1)
(2)
指針
① 第k項を差の形で表す。
......
[ 類 一橋大 ]
1
(n≥2)
✓n+√n+2
② ①で作った式にk=1,2,3
3 辺々を加えると、隣り合う項が消える。
基本25
n
を代入。
(1) 基本例題 25 と方針は同じ。 まず,第に項を部分分数に分解する。 分母の因数が
3つのときは、解答のように2つずつ組み合わせる。
1
k(k+1)
を計算すると
=
(k+1)(k+2)
1
2
よって
k(k+1)(k+2)
k(k+1)(k+2)
-1/2 (k+1)(+1)(x+2)}
(2)第ん項の分母を有理化すると,差の形で表される。
1
k(k+1)(k+2) = {k(k+1) (k+1) (k+2)}
(1) 第項は
解答
であるから
(k+1)(k+2)
S=12 | | (1½-2-2-3) + (2 1/3 - 3-4)+(314-115)
=
2)+(2
+ =
)(n+2)}]
....+. n(n+1) (n+1)(n+2)
1
1-2 (n+1)(n+2)
)(n+2)}
21.2
_1.(n+1)(n+2)-2
2(n+1)(n+2)
(2)第項は
部分分数に分解する。
途中が消えて,最初と最後
だけが残る。
検討
次の変形はよく利用される。
1
k(k+1)(k+2)
n(n+3)
4(n+1)(n+2)
1
1
=
(k+1) (k+2)]
√k-√√k+2
√k + √k + 2 = (√k + √k + 2) (√k - √k+2)
1/2(k+2-√k) であるから
S=1/2((-1)+(V-√2)+(-1)
++(√n+1-n-1)+(n+2-Vn)}
=
=1/12
(√n+1+√n+2-1-√2 )
次の数列の
2k(k+1) (k+1)(k+2)
分母の有理化。
分
途中の±√3+√4,
±√5,........±√n-1,
±√n が消える。
Any th
