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数学 高校生

・2)の証明の「同様に」以降はなぜr≠0とだけ仮定するのですか?0≦r<lの否定になるんですか? ・1)の証明の、「」が何を言っているかわからないです。2)の何をどう利用したんですか? 本当に理解できないので簡単めに解説をお願いしたいです。😢

446の会社数は無数 基本事項 ① 最大公約数と最小公倍数 (12) 24.…… 2つ以上の整数に共通な約数を,それらの整数の公約数といい、公約数のうち最大 のものを最大公約数という。 また,2つ以上の整数に共通な倍数を,それらの整数 の公倍数といい,公倍数のうち正で最小のものを最小公倍数という。 一般に、公約数は最大公約数の約数 公倍数は最小公倍数の倍数である。 TA 注意 最大公約数をG.C.D Createst Common Divisor) または G.C.M (Greatest Common Measure), 最小公倍数を L.C.M (Least Common Multiple) ともいう。 ② 互いに素 2つの整数αの最大公約数が1であるとき, a,bは互いに素であるという。 ③3 最大公約数 最小公倍数の性質 2つの自然数a,b の最大公約数をg, 最小公倍数を1とする。 aga, b=gb' である とすると,次のことが成り立つ。 a' と'は互いに素 gdg b 21=ga'b'=a'b=ab' 解説 <最大公約数、最小公倍数> 上の1) 2) を証明してみよう。 それには,まず2) から示す。 [2) の証明]a,b,c, ······ の最小公倍数を 任意の公倍数をとする。 kを1で割ったときの商を Q, 余りをrとすると a,bはgでひろいろ なかった素因数の あつまり ~ 1 Y = 77₂ 318 7 きずり h=qlty...... ①,0ょくし -0 もしもの倍数であるから, k=ak', l=gl' (k', I'は整数)と表され axsh Tabの任にかけた rkgl=g(k-ql ) より はαの倍数である。 ab=gl 同様に,b, G…. の倍数であるから、はa,b,c,….. の公倍 w z C 数である。 「ここで、y=0 と仮定すると、より小さい正の公倍数rが存 在することになるが,これはが最小公倍数であることに矛盾する。」 ゆえに = 0 よって, ① はん=ql となり, kは1の倍数である。 [1) の証明] α, b, c, ······ の最大公約数を g, 任意の公約数をmとする。 「1をgとmの最小公倍数とすると, はgとmの公倍数であるから 2) より αはもの倍数である。 同様に, b, c, ...... もの倍数である。 したがって は a, b, C....... の公約数である。 ここでgが最大の公約数であるから l≤g 12g ゆえに lg 一方, 1はgとmの最小公倍数であるから よって,gとmの最小公倍数がg に一致し, gはmの倍数である。 すなわち, 任意の公約数は最大公約数g の約数である。 大きい所どり! xy X² Yo X'Y = l この等式については、 次の 「§18 整数の割 り算と商および余り」 で詳しく学習する。 <背理法。 Fag (A)) 1) を示すにぼg と mの最小公倍数が であることを示せば よい。 ASB かつ A≧B ならば A=B この論法は整数の性 質に関する証明でよ

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数学 高校生

最大公約数、最小公約数の問題です。 模範解答も、自分自身の解答もしっくりきません。 Ga’+Gb’=G(a’+b’)の、a’+b’が素数になる理由もよく分かってないけど、どんな数字当てはめてもそうなるので、そうなるとしかいえません() どなたか助けてください、、

50 2つの自然数a,b (a < b) の和が132, 最小公倍数が336であると 〈福岡大〉 き, 最大公約数とα, bを求めよ。 49 最大公約数 最小公倍数 α, b の最大公約数をGとすると a=Ga', b=Gb' (a', 6' は互いに素)と表せる。 a+b=132 から Ga'+G6' =132 ... G(a'+6')=12×11 また, 最小公倍数L=336 から L=Ga'b'=336=12×28 1128 は互いに素だから 最大公約数は 12 また、α'+6'=11, α'b' = 28 だから α′,6′はt2-11t+28=0の解である。 (t-4)(t-7)=0 ∴ t=4, 7 a<bより α'=4, 6′=7 よって, α = 4×12=48 b=7×12=84 ....... 1² (35) 8.15 α'と6' が互いに素であるとき 互いに素である。 これの意味、必要性 6'11-α′ を α'6'=28に代入 4 JS POS して解くと a' (11-α')=28 より アドバイス ●2つの数1218の最大公約数は6だから 12 = 6×2,186 × 3 と表せる。こ こで、大切なのは最大公約数6に掛けられる2と3は互いに素であることだ。 ●このように、2つの自然数 α, b について, 最大公約数がGであるとき, (a'-4) (a'-7)=0 a'=4, 7 a=Ga' b=Gb' a=Ga', b=Gb' と表せる。 ただし,α', 6' は互いに素である。 ●このとき Tazas 最小公倍数は L=Gα'b', a, b の積は ab= Ga'×G6' =LG と表せる。 2つの自然数a,bの最大公約数と最小公倍数 G.C.D. = G (最大公約数) L.C.M.=L ( 最小公倍数 ) これで解決! 互いに素 L=Ga'b', ab=LG ■練習49 (1) 3桁の自然数が2つあり, その和が756, 最大公約数が84 である。このよ うな自然数の組をすべて求めよ。 (2)a,bは自然数で, a≧b とし, a + b は a, bの最大公約数の5倍に等しく,6ab 倉敷芸科大> 〈津田塾大〉 はαの最小公倍数の2乗に等しい。 このとき, a b を求めよ。 角 ア ア LY 解 練

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