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ID
eas 00000
基本例題 240 3次曲線と面積
(1) 曲線 y=x-2x²-x+2 とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(2) 曲線 y=x-4x と曲線 y=3x² で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
指針3次曲線 (3次関数のグラフ)であっても、面積を求める方針は同じ。
① グラフをかく ②2 積分区間の決定
まず、曲線とx軸, または2曲線の交点のx座標を求める。
解答
(1) x-2x²-x+2=x2(x-2)-(x-2)=(x²-1)(x-2)
=(x+1)(x-1)(x-2)
よって, 曲線とx軸の交点のx座標は
したがって,図から(笑) 求める面積は
=2f'(-2x+2)dx-f(x-2x-x+2)dx
s=S", (x²³-2x²-x+2)dx+²{-(x³2x²-x+2)]dxtal
J-1
8 2 13 37
3 3 12 12
(2) 2曲線の共有点のx座標は,
x3-4x=3x2 を解くと,
x(x2-3x-4)= 0 から
x=±1, 2
x(x+1)(x-4)=0
よって
x=-1, 0,4
ゆえに,図から 求める面積は
s=${(x-4x)-3x}dx
=-(11+1-2)-(64-64-32)=4
Ly=3x²
(*) 曲線の概形については、
2.2x2x321 参照。ここでは、毎
値を求める必要はない。
-1 0
+(3x²(x²³-4x) dx
=f'(x-3x²-4x)dx-S(xー3x²-4x)dx
--------
y y=x³-4x
+32=
dit (1)
3 上下関係に注意
131
(2) 東京電機
基本235.236
ya
2012年
練習 (1) 曲線 y=x3x²とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
²6 C とする。 Cとx軸で囲ます
240 (2) tha
(2) 曲線 y=x²-4xについ
て, y=x(x+2)(x-2)から、
X軸との交点のx座標は
x = 0. ±2
また, 曲線 y=3x² は原点を
4 x 頂点とする。下に凸の放物線
2
F(x)とする
と
_=F(0)-F(-1)
-{F(4)-F(0))
=2F(0)-F(-1)-F(4)
ここで F(0)=0
recs
基本
曲線
形の
指針▷
y=3:
方程
3
すな
この
ポー
これ
ゆえ
した
1
