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基本 例題 99 媒介変数と軌跡
00000
は定数とする。 放物線y=x'+2(a-2)x-4a+5について αがすべての
実数値をとって変化するとき、頂点の軌跡を求めよ。
基本 98,
重要 102
CHART & SOLUTION
基本例
直線 x
x-2y-
CHAR
線対称
xyが変化する文字αを用いて表される点の軌跡
つなぎの文字を消去して、xだけの関係式を導く
頂点の座標を (x, y) とすると x=(αの式),y=(αの式) の形に表される。
ここから, つなぎの文字αを消去して,xとyの関係式を導く。
解答
放物線の方程式を変形すると
点Qが
Pの軌
y={x+(a-2)}-α²+1
y={x+(a-2)}^
-(a-2)-4a+5
----
x=-α+2
放物線の頂点をP(x, y) とする
と
a=-1
①
0
/1 2 3
X
放物線y=a(x-p)+q
の頂点の座標は (p.g)
y=-α²+1 ......
②
解答
直線
上を
直線
に関
①から α=-x+2
x
これを② に代入して
y=(x+2)2+1
-3a=2
a=-2
つなぎの文字αを消去。
したがって、求める軌跡は
放物線 y=(x-2)2+1
INFORMATION
媒介変数表示
図形の方程式がx=f(t), y=g(t) のように,もう1
別の変数 (媒介変数) を使って表されたとき,これ
を媒介変数表示という。
y
(-1,4)
t=-2
(3,4)
t=2
1つの実数の値に対して, x=f(t), y=g(t) によ
り (x, y) の値が1つに決まり,tが実数の値をとっ
て変化すると, 点(x,y) は座標平面上を動き、 図形を
描く。
(0, 1)
t=-1
(2,1)
t=1
0 (1, 0)
例 x=t+1, y=t2 は放物線y=(x-1) 2 を表す。
実際に点をとると, 右の図のようになる。
1=0
PRACTICE 99
3
αは定数とする。 放物線 y=x+ax+3-α について, αがすべての実数値をとって
変化するとき,頂点の軌跡を求めよ。
