Xm
V
b
例題125 領域における最大・最小〔3〕x-a
(x,y) が連立不等式 x+y2-4(x+y) +7 ≦0…..①, x+y≧3….. ②を
満たす領域を働くとき,
y+1 の最大値、最小値を求めよ。
x-5
図で考える
I. 条件の連立不等式を満たす領域D を図示する。
y+1
ⅡI.
x-5
=k とおく。 y+1=k(x-5)･・・ ③より, 傾きん,点 (5,-1)を通る直線
傾きの最大値、最小値を求めることになる
ⅢI.領域Dと共有点をもつように、直線③の傾きを変化させて
傾きが最大・最小となるときを考える。
Action》の最大・最小は2=kとおいて定点(α, b) を通る直線の傾きに着目せよ
x-a
(x-2)2+(y−2)≦ 1
解 ① を変形すると
連立不等式 ①, ② が表す領域 D
は右の図の斜線部分。 ただし, 境
界線を含む。
ここで,
y+1
x-5
1+1
2-5
= h とおくと
2 3
y+1=k(x-5) … ③
③は,定点 (5,-1)を通り,傾きがんである直線を表す。
ただし、
(5,-1)を除く。
5より点
(ア) kが最大となるのは, 直線 ③
が点 (2, 1) を通るときで,
最大値はん =
(イ) kが最小となるのは、 直線 ③
が円(x-2)2+(y-2)=1 と
接するときである。
③はkx-y-5k-1 = 0 となるから
x-a
2
3
(ア),(イ)より 最大値
3
=1より k =
YA
|2k-2-5k-1|
√√k² +1
このうち, 接点が領域内にあるのは
2
0 1
D
最小値
23
- 9±√17
8
5 x
(立教大)
-9-√17
8
-9-√17
14.8 $30
まず, (x,y) が動く領域
Dを図示する。
円 (x-2)^2+(y-2)^= 1
と直線 x+y=3 は,
2点 (1,2),(2,1)で交
わる。
分母は0でないから
x-5≠0
よって x キ5
直線③と図の領域が共
有点をもつような範囲で、
傾きんの最大、最小を調
べる。
x=2,y=1 を代入する。
円の中心 (22) と直線
③の距離が半径1に等し
い。
分母をはらうと
|3k+3| = √k²+1
両辺を2乗すると
9k² +18k+9= k² +1
4k2 + 9k +4 = 0
